東京理科大学薬学部（薬） 2014年問題4

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$rは2以上9以下の自然数とする．nをr以上の自然数として，次の条件を満たすn桁の自然数を考える．(i)各位の数は1からrまでの数1,2,・・・,rのどれかである．(ii)1,2,・・・,rのどの一つも必ずどこかの位に現れる．このような自然数全体の集合を考え，この集合の要素の個数を_rS_nとおく．また，この集合のすべての要素の和をf_r(n)とおく．(1)r=2とする．(i)_2S_2=[ア]，_2S_3=[イ]である．一般に，_2S_n={[ウ]}^n-[エ]である．(ii)f_2(2)=[オ][カ]，f_2(3)=[キ][ク][ケ]である．一般に，f_2(n)=\frac{[コ]}{[サ]}({[シ][ス]}^n-1)・{_2S_n}が成り立つ．(2)r=3とする．(i)_3S_n={[セ]}^n-[ソ]・{[ウ]}^n+[タ]である．(ii)f_3(n)=\frac{[チ]}{[ツ]}({[シ][ス]}^n-1)・{}_3S_nが成り立つ．(3)r=4とする．(i)_4S_n={[テ]}^n-[ト]・{[セ]}^n+[ナ]・{[ウ]}^n-[ニ]である．(ii)f_4(n)=\frac{[ヌ]}{[ネ][ノ]}({[シ][ス]}^n-1)・{}_4S_nが成り立つ．$