東京理科大学
2012年 理（数・物・化） 第1問

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  4. 2012年 - 理（数・物・化） - 第1問
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次の問いに答えよ．(1)1から9までの番号が書かれた9個のポールが袋に入っている．この袋の中から1個のボールを取り出し，その番号を確認してからもとに戻す試行を考える．(i)この試行を3回行ったとき，同じ番号のボールを少なくとも2回取り出す確率は\frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]}である．(ii)この試行を2回行ったとき，取り出したボールの番号の差が1以下となる確率は\frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}である．(2)tをt＞1をみたす実数とし，xy平面上で次の方程式で表される3直線ℓ_1,ℓ_2,ℓ_3を考える．\begin{array}{l}ℓ_1:tx-y=0\ℓ_2:x-ty-t^2=0\ℓ_3:x+ty-t^2=0\end{array}ℓ_1,ℓ_2,ℓ_3で囲まれる三角形の面積をS(t)とし，この三角形のx軸の上側の部分の面積をS_1(t)，x軸の下側の部分の面積をS_2(t)とする．(i)S_2(t)=2S_1(t)となるtの値はt=\sqrt{[ケ]}である．(ii)S(t)=\frac{t^{[コ]}}{t^{[サ]}-[シ]}であり，S(t)をtで微分して符号を調べることにより，S(t)はt=(\frac{[ス]}{[セ]})^{\frac{[ソ]}{[タ]}}で最小値をとることがわかり，最小値は\frac{7}{[チ]}(\frac{[ツ]}{[テ]})^{\frac{[ト]}{[ナ]}}となる．(3)pを実数とし，方程式x^3-px^2-13/4x+15/8=0は3つの実数解a,b,c(a＞b＞c)をもつとする．a+c=2bをみたすとき，a=\frac{[ニ]}{[ヌ]},b=\frac{[ネ]}{[ノ]},c=\frac{[ハ]}{[ヒ]},p=\frac{[フ]}{[ヘ]}である．(4)Oを原点とする空間内に3点A，B，Cがある．|ベクトルOA|=2,|ベクトルOB|=1,|ベクトルOC|=3であり，ベクトルOA，ベクトルOB，ベクトルOCのどの2つのなす角もπ/3であるとする．Gを△ABCの重心とし，MをABの中点，NをBCの中点，LをMNの中点とする．このとき，|ベクトルOG|=\frac{[ホ]}{[マ]},|ベクトルGL|=\frac{\sqrt{[ミ][ム]}}{[メ][モ]}である．
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