東京都市大学
2014年 メディア情報，都市生活 第1問
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![次の[]を埋めよ．ただし，解答用紙には計算過程も示せ．(1)a,bを定数とする．等式\frac{3x-2}{x^2-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}がxについての恒等式となるようにa,bの値を定めると，a=[ア]，b=[イ]となる．(2)さいころを2回投げ，各回に出た目をそれぞれa,bとするとき，\frac{a+bi}{1+3i}が実数になる確率は[ウ]である．ただし，iは虚数単位とする．(3)aをa≧0を満たす定数とする．2次関数y=3(x-a)^2+a^2-3a-4(-1≦x≦1)の最大値をaの式で表すと[エ]となる．また，最小値をaの式で表すと，0≦a＜1のとき[オ]，a≧1のとき[カ]となる．(4)直方体OADB-CEGFにおいて，辺OCの中点をP，辺AEを5:1に内分する点をQ，辺BFを7:1に内分する点をRとし，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとすると，ベクトルOQとベクトルORはそれぞれベクトルa，ベクトルb，ベクトルcを用いてベクトルOQ=[キ]，ベクトルOR=[ク]と表される．点P，Q，Rを通る平面と辺EG，辺FGとの交点をそれぞれS，Tとすると，ベクトルOSとベクトルOTはそれぞれベクトルa，ベクトルb，ベクトルcを用いてベクトルOS=[ケ]，ベクトルOT=[コ]と表される．したがって，点Sは辺EGを1:[サ]に内分し，点Tは辺FGを1:[シ]に内分する．(5)数列{a_n},{b_n},{c_n}の一般項がそれぞれa_n=sin\frac{nπ}{6}，b_n=cos\frac{nπ}{6}，c_n=sin\frac{nπ}{6}+cos\frac{nπ}{6}(n=1,2,3,・・・)で表されるとき，a_{37}+a_{43}=[ス]，b_{191}=[セ]，c_{436}+c_{439}=[ソ]である．\mon方程式4^x-2^{x+1/2}=4がある．a=2^x(a＞0)とすると，この方程式はxを使わずにaを用いて[タ]と表すことができる．したがって，この方程式の解はx=[チ]である．\monf(x)=x^3-3x+2，g(x)=2x^2-4x+2，h(x)=3x^2-6x+3とし，関数f(x),g(x),h(x)の導関数をそれぞれf´(x),g´(x),h´(x)とする．f(x)＞g(x)が成り立つxの範囲は[ツ]であり，f(x)＞h(x)が成り立つxの範囲は[テ]である．また，f´(x)＞g´(x)が成り立つxの範囲は[ト]であり，f´(x)＞h´(x)が成り立つための条件は[ナ]である．\mon1から9までの番号をつけた9枚のカードから，同時に2枚を取り出すとき，取り出したカードの番号が1と2である確率は[ニ]であり，連続した2つの数字である確率は[ヌ]である．また，同時に3枚を取り出し，番号の小さい順に並べたとき，その番号が連続した3つの数字である確率は[ネ]であり，3つの番号の積が24である確率は[ノ]である．](./thumb/263/2246/2014_1.png?1)
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