富山県立大学工学部 2014年問題4

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$αは実数とする．行列A=(\begin{array}{cc}1&-√3\√3&1\end{array})，B=(\begin{array}{cc}cosα&-sinα\sinα&cosα\end{array})について，次の問いに答えよ．(1)A=r(\begin{array}{cc}cosθ&-sinθ\sinθ&cosθ\end{array})と表すとき，r,θの値を求めよ．ただし，r＞0，0＜θ＜πとする．(2)B^n=(\begin{array}{cc}cosnα&-sinnα\sinnα&cosnα\end{array})(n=1,2,3,・・・)となることを数学的帰納法を用いて示せ．(3)A_n=r_n(\begin{array}{cc}cosθ_n&-sinθ_n\sinθ_n&cosθ_n\end{array})(n=1,2,3,・・・)を(A_n)^n=Aにより定める．ただし，r_n＞0，0＜θ_n＜π/nとする．このとき，r_n，θ_nをnの式で表せ．(4)(3)で定めたA_nを用いて行列T_nをT_n=nA_nにより定める．点Oを原点とする座標平面上において，T_nの表す1次変換によって点(1,0)が移される点をP_nとするとき，△OP_nP_{n+1}の面積S_nをnの式で表せ．また，極限\lim_{n→∞}S_nを求めよ．$

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大学（出題年）	富山県立大学（2014）
文理	理系
大問	4
単元	行列とその応用（数学C）
タグ	行列，数学的帰納法，示せ，変換，面積，極限
難易度	3

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