和歌山県立医科大学
2015年 医学部 第4問

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  4. 2015年 - 医学部 - 第4問
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あるバクテリアをある条件の下で培養した場合，生存している1個が，1時間後には1回分裂して2個ともに生存しているか，あるいは死滅しているかであり，2個とも生存している確率がp，死滅している確率が1-pであるという．このバクテリアがこの条件の下で最初1個生存していたとき，n時間後に1個以上生存している確率をP_nとおく．ただし，nは自然数とする．(1)P_2,P_3をそれぞれpの式で表せ．(2)P_{n+1}をpとP_nの式で表せ．(3)p=1/3のときの\lim_{n→∞}P_nを求めよ．(4)aを2より大きな実数とする．p=\frac{a-1}{a}，Q_n=P_n-\frac{a-2}{a-1}としたとき，0＜Q_{n+1}＜Q_nであることを示せ．(5)pが(4)と同じときの\lim_{n→∞}P_nを求めよ．
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