早稲田大学
2017年 基幹理工・創造理工・先進理工 第3問

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次の問に答えよ.(1)四面体ABCDと四面体ABCPの体積をそれぞれV,V_{P}とする.(i)ベクトルAP=tベクトルADが成り立つとき,体積比\frac{V_{P}}{V}を求めよ.(ii)ベクトルAP=bベクトルAB+cベクトルAC+dベクトルADが成り立つとき,体積比\frac{V_{P}}{V}を求めよ.(2)四面体ABCDについて,点A,B,C,Dの対面の面積をそれぞれα,β,γ,\deltaとする.原点をOとして,ベクトルOI=\frac{αベクトルOA+βベクトルOB+γベクトルOC+\deltaベクトルOD}{α+β+γ+\delta}となる点Iを考える.四面体ABCDの体積をVとするとき,3点A,B,Cを通る平面と点Iの距離rを求めよ.(3)(2)の点Iは四面体ABCDに内接する球の中心であることを示せ.
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