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以下の問いに答えよ.(1)関数f(x)=xsin^2x(0≦x≦π)の最大値を与えるxをαとするとき,f(α)をαの分数式で表すと[1]となる.(2)多項式a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2を因数分解すると[2]となる.(3)Nを与えられた自然数とし,f(x)およびg(x)を区間(-∞,∞)でN回以上微分可能な関数とする.f(x)とg(x)から定まる関数を次のように定義する.tを与えられた実数として,\begin{array}{lll}(f*_tg)(x)&=&Σ_{k=0}^N\frac{t^k}{2^kk!}f^{(k)}(x)g^{(k)}(x)\&=&f(x)g(x)+t/2f´(x)g´(x)+・・・+\frac{t^N}{2^NN!}f^{(N)}(x)g^{(N)}(x)\end{array}とおく.ここに,f^{(k)}(x)はf(x)の第k次導関数である(g^{(k)}(x)も同様である).aを実数,nをN以下の自然数とする.f(x)=e^{2ax},g(x)=x^nにたいし,二項定理を用いて(f*_tg)(x)を計算すると[3]となる.(4)関係式f(x)+∫_0^xf(t)e^{x-t}dt=sinxをみたす微分可能な関数f(x)を考える.f(x)の導関数f´(x)を求めると,f´(x)=[4]となる.f(0)=[5]であるからf(x)=[6]となる.
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