横浜市立大学
2014年 医学部 第4問

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  4. 2014年 - 医学部 - 第4問
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nを4以上の整数とする．1番からn番までの番号がふられたボールが1つずつある．このとき，以下の問いに答えよ．(1)以下のような操作でボールを1列に並べる：(i)1番のボールを適当な位置におく．(ii)2番のボールを1番のボールの左または右に同じ確率でおく．(iii)3番のボールをすでに並んでいる2つのボールの左または間または右に同じ確率でおく．\mon[\tokeishi]以下n番まで番号順に，k番のボールを，すでに並んでいるボールの一番左または間または一番右に同じ確率でおく，ことを繰り返す．例えば，左から2番，1番，3番のボールが並んでいるとき，4番のボールが2番と1番の間におかれる確率は1/4である．n番のボールをおき終えたとき，i番のボールが左からj番目に並ぶ確率は1/nであることを証明せよ．ただし，iとjは1以上，n以下の整数とする．(2)(1)のボールの列を，（左から）番号順に並び替えるため，以下の操作を考える：隣り合った2つのボールの組で，左のボールの番号が右のそれより大きなもの（入れ替え可能な組と呼ぶ）が存在するとき，そのようなボールの組を1つ選び，入れ替える．入れ替え可能な組が複数あった場合に，入れ替える組をどのように選んだとしても，この操作を繰り返すことにより，すべてのボールの列は，必ず番号順の列になることを証明せよ．(3)(2)の操作の回数は，入れ替える組の選び方とは無関係であることを証明せよ．(4)(2)においてボールの列を番号順に並べ替えるとき，i番のボールを，より番号の小さいボールと入れ替える回数の期待値をE_iとする．このとき，Σ_{i=1}^nE_iを求めよ．
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