横浜市立大学
2017年 医・国際総合科学 第3問

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  4. 2017年 - 医・国際総合科学 - 第3問
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投げたとき，表の出る確率がp，裏の出る確率が1-pであるコインがある．ただし，pは0＜p＜1をみたす実数である．A君とB君はこのコインを使って以下のような公平な勝負をすることを思いついた．\begin{itemize}コインを2回投げる．始めに表，次に裏が出たらA君の勝ちとする．始めに裏，次に表が出たらB君の勝ちとする．それ以外だった場合，始めからやり直す．\end{itemize}以下の問いに答えよ．(1)自然数nに対して，コインをちょうど2n回投げてA君が勝つ確率と，コインをちょうど2n回投げてB君が勝つ確率は等しいことを証明せよ．(2)A君とB君のどちらかが勝つまでにコインを投げる回数が2n回以下である確率を求めよ．(3)(2)で求めた確率はpが1/2のとき最大になることを証明せよ．(4)xを0＜x＜1をみたす実数とする．このとき，\lim_{n→∞}nx^n=0を証明せよ．(5)コインをちょうど2n回投げたときに勝負がつく確率をa_nとする．このとき，\lim_{n→∞}Σ_{i=1}^n2ia_iを求めよ．
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