「三角形」について

　私立 立教大学 2015年 第1問

次の空欄[ア]～[コ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)∫24(x2+ax+2)dx=14/3を満たすaの値は[ア]である．
(2)0≦θ≦π/2のとき，cosθ+√3sinθの最大値は[イ]であり，最小値は[ウ]である．
(3)実数xが0＜x＜1かつ{(log2x)}2+log2x-6=0を満たすとき，xの値は[エ]である．
(4)3次方程式(x-1)(x2+ax+a+2)=0が2重解をもつとき，aの値を・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第2問

各辺の長さが整数であるような三角形を考え，その3辺の長さをx,y,z(x≦y≦z)とする．また，nを自然数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)z=nであるような三角形の個数をanとするとき，a5およびa6を求めよ．
(2)(1)のanをnの式で表せ．
(3)z≦nであるような三角形の個数をbnとする．
(i)bnをnの式で表せ．
(ii)bn＞2015となるような最小の自然数nを求めよ．
(4)z=nであるよう・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第3問

原点をOとする座標平面において点R(a,b)(a＞0,b＞0)をとる．x軸の正の部分に点Pを，y軸の正の部分に点Qを，線分PQが点Rを通るようにとる．以下，∠OPQ=θ(0＜θ＜π/2)とおく．
(1)線分PQの長さを，θおよびa,bを用いて表しなさい．
(2)線分PQの長さを最小にする角θに対して，tanθおよび線分PQの長さをa,bを用いて表しなさい．
(3)a・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第2問

三角形OABにおいてOA=4，OB=5，AB=6とする．三角形OABの外心をHとするとき
ベクトルOH=\frac{[カ]}{[キ]}ベクトルOA+\frac{[ク]}{[ケ]}ベクトルOB
である．

　私立 早稲田大学 2015年 第2問

三角形OABにおいてOA=4，OB=5，AB=6とする．三角形OABの外心をHとするとき
ベクトルOH=\frac{[カ]}{[キ]}ベクトルOA+\frac{[ク]}{[ケ]}ベクトルOB
である．

　私立 早稲田大学 2015年 第2問

座標平面上に3点O(0,0)，A(4,0)，B(0,3)がある．実数a,bに対し，点P(4a,3b)，点Q(4a-4,3b)，点R(4a,3b-3)をとる．三角形PQRと三角形OABの共通部分が六角形となるとき，六角形の面積をSとする．次の設問に答えよ．
(1)Sをa,bを用いて表せ．
(2)Sを最大とするa,bの値と，そのときのSの値を求めよ．

　私立 立教大学 2015年 第3問

座標平面上の曲線C:y=x3+x2+axは，直線ℓ1:y=-xと原点O(0,0)で接している．このとき，次の問に答えよ．
(1)aの値を求めよ．
(2)直線ℓ1とCの共有点でO以外の点をPとする．点Pの座標を求めよ．
(3)点Pを通るCの接線ℓ2とCの共有点で点P以外の点をQとする．点Qの座標を求めよ．
(4)点Qを通るCの接線ℓ3とCの共有点で点Q以外の点をRとする．点Rの座標を求めよ．
(5)三角形\・・・

　私立 甲南大学 2015年 第2問

kを正の実数とする．直線ℓ:y=\frac{x}{√3}+kはx軸と点Pで交わり，円O:x2+y2=1と2点A，Bで交わる．ただし，3点P，A，Bは直線ℓ上にこの順で並び，AB=1である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)kの値を求めよ．また，点P，A，Bの座標を求めよ．
(2)点Pを通り円Oに接する直線のうち傾きが負であるものをmとする．直線mの方程式を求めよ．また，直線mと円Oの接点C・・・

　私立 甲南大学 2015年 第2問

kを正の実数とする．直線ℓ:y=\frac{x}{√3}+kはx軸と点Pで交わり，円O:x2+y2=1と2点A，Bで交わる．ただし，3点P，A，Bは直線ℓ上にこの順で並び，AB=1である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)kの値を求めよ．また，点P，A，Bの座標を求めよ．
(2)点Pを通り円Oに接する直線のうち傾きが負であるものをmとする．直線mの方程式を求めよ．また，直線mと円Oの接点C・・・

　私立 甲南大学 2015年 第3問

0＜θ＜1とする．三角形ABCにおいて，AB=AC=1/θ，∠BAC=θとする．また，辺ABを(1-θ):θに内分する点をDとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)三角形BCDの面積をSとする．\lim_{θ→+0}Sを求めよ．
(2)\lim_{θ→+0}BCを求めよ．
(3)\lim_{θ→+0}CDを求めよ．