「三角形」について

　私立 関西学院大学 2011年 第2問

座標空間において，原点をOとし，点A(1,0,0)をとる．また，xy平面上にあり，中心が原点，半径が1の円をCとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)Cのy≧0の部分にある点Pについて∠AOP=t(0≦t≦π)とする．このとき，点Pの座標をtを用いて表せ．
(2)点QをベクトルOQ=-ベクトルOPを満たす点とし，点B(√3,1,1)をとる．このとき，内積ベクトルBP・ベクトルBQを求めよ．また，|ベクトルBP|2=m-nsin(t+\a・・・

　私立 津田塾大学 2011年 第1問

次の問に答えよ．
(1)x＞0のとき，関数f(x)=x2+x+2/x+\frac{1}{2x2}の最小値を求めよ．
(2)1から10までの番号が書かれた10枚のカードから同時に3枚を取り出したとき，カードに書かれた3つの数字の積が3の倍数になる確率を求めよ．
(3)三角形ABCで∠A={75}°，BC=√2，AB=√3-1のとき，∠C，ACを求めよ．

　私立 青山学院大学 2011年 第5問

曲線y=e^{-x}上の点(1,e^{-1})における接線とx軸の交点を(a1,0)とする．次に，y=e^{-x}上の点(a1,e^{-a1})における接線とx軸の交点を(a2,0)とする．以下，同様にan(n=3,4,5,・・・)を定める．次の問に答えよ．
(1)a1を求めよ．
(2)anを求めよ．
(3)曲線上の点(an,e^{-an})における接線と，直線x=anおよびx軸で囲まれた三角形の面積をSnとする．Σ_{n=1}^∞Snを求めよ．

　公立 県立広島大学 2011年 第3問

xy平面上に2点
　A　(3cost,3sint),　B　(-sin3t,cos3t)(0≦t≦2π)
がある．次の問いに答えよ．
(1)原点をOとするとき，ベクトルOAとベクトルOBのなす角がπ/6になるtの値を求めよ．
(2)|ベクトルAB|の最大値と最小値を求めよ．
(3)三角形OABの面積の最大値を求めよ．

　公立 広島市立大学 2011年 第3問

平面上の三角形ABCの頂点A，B，Cの位置ベクトルをそれぞれベクトルa,ベクトルb,ベクトルcとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)線分ABの垂直二等分線をℓとする．ℓ上の点Pの位置ベクトルをベクトルpとするとき，直線ℓのベクトル方程式はベクトルp・(ベクトルb-ベクトルa)=1/2(|ベクトルb|2-|ベクトルa|2)で与えられることを示せ．
(2)(1)の結果を用いて，三角形ABCの3つの辺の垂直二等分線が1点Dで交わることを示せ．
(3)(2)で定まる点Dの位置ベクト・・・

　公立 大阪府立大学 2011年 第4問

kを正の定数とする．直線y=kxをℓとし，原点Oを通り直線ℓに垂直な直線をmとする．2次正方行列Aで表される1次変換をfとする．fにより，直線ℓ上の点は自分自身に移り，直線m上の点は原点に移るとする．
(1)行列Aを求めよ．
(2)Pを座標平面上の点とする．点Pのfによる像をQとする．
\mon[(i)]点Qは直線ℓ上の点であることを示せ．
\mon[(ii)]点Pが直線ℓ上の点でないとき，直線PQと直線ℓは垂直であることを示せ．
\mon[(iii)]3点(0,0)，(1,0)，・・・

　公立 名古屋市立大学 2011年 第3問

平面上の原点をOとし，三角形OABと実数p(0＜p＜1)に対して，点P1，P2，P3，・・・の位置ベクトルを
\begin{eqnarray}
&&ベクトルOP1=ベクトルOA,ベクトルOP2=ベクトルOA+pベクトルAB,ベクトルOP3=ベクトルOA+pベクトルAB+p2ベクトルBO,\nonumber\\
&&ベクトルOP4=ベクトルOA+pベクトルAB+p2ベクトルBO+p3ベクトルOA,\nonumber\\
&&ベクトルOP5=ベクトルOA+pベクトルAB+p2ベクトルBO+p3ベクトルOA+p4ベクトルAB,・・・\nonumber
\end{eqnarray}
によって定義する．次の問いに答・・・

　公立 大阪府立大学 2011年 第2問

平面上に三角形OABがあり，　OA　=3,　OB　=2,ベクトルOA・ベクトルOB=-2であるとする．線分OAを2:1の比に内分する点をCとする．また，線分ABをt:(1-t)の比に内分する点をPとし，直線OPと直線BCの交点をQとする．ただし，tは0＜t＜1を満たす実数である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)三角形OABの面積Sを求めよ．
(2)ベクトルOQをベクトルOA,ベクトルOBおよびtを用いて表せ．また，ベクトルOQ=kベクトルOPとなる実数kをtを用いて表せ．
(3)三角形OCQの面積が√2になるときの・・・

　公立 兵庫県立大学 2011年 第1問

座標空間内に3点A(1,0,0)，B(0,√2,0)，C(0,0,1)がある．
(1)cos∠　ACB　の値を求めよ．
(2)原点O(0,0,0)から三角形ABCに下ろした垂線の足をHとするとき，cos∠　COH　の値を求めよ．

　公立 宮城大学 2011年 第1問

次の空欄[ア]から[ケ]にあてはまる数や式を書きなさい．
(1)自然数nに対しn!でnの階乗1・2・3・・・・・(n-1)・nを表し，2を底とする対数関数をlog2(x)とする．このとき，
log2(1!)-log2(2!)+log2(3!)-log2(4!)=[ア]
となる．
(2)三角形ABCにおいて∠A，∠B，∠Cの大きさをA，B，C，辺BCの長さをa，辺CAの長さをb，辺ABの長さをc，・・・