「不等式」について

　私立 武庫川女子大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)次の不等式の空欄[25]～[28]にあてはまるものを下の解答群から選べ．
[25]＜[26]＜\sqrt[3]{7}＜[27]＜[28]
解答群\nagamaruichitan{50}°\qquad\nagamaruni√5\qquad\nagamarusan\sqrt[4]{14}\qquad\nagamarushisin{100}°
(2)次の空欄[29]～[38]にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄[29]，[32]には+，-，±いずれかの記号が入る・・・

　私立 立教大学 2014年 第1問

次の空欄[ア]，[イ]に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄[ウ]～[サ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)実数a,bについて，命題「ab=0ならばb=0である」の逆は[ア]であり，裏は[イ]である．
(2)x=\frac{√5-1}{√5+1}のとき，x2+\frac{1}{x2}=[ウ]，x4+\frac{1}{x4}=[エ]と，いずれも整数で表せる．
(3)すべての実数xについて2次不等式x2-2(k+1)x+2k2＞0・・・

　私立 北里大学 2014年 第5問

aを実数とし，関数f(x)をf(x)=2x3-3(a+2)x2+12axで定める．
(1)f(x)が極値をもつとき，その値は[タ]である．
(2)y=f(x)のグラフがaの値に関係なく通る点で，原点OでないものをAとする．点Aの座標は[チ]である．
(3)点Aを(2)で定めた点とする．線分OAとy=f(x)のグラフが2点O，A以外に共有点をもつaの値の範囲は[ツ]＜a＜[テ]である．
(4)x≧0を満たすすべての実数xについて，不等式f(x)≧・・・

　公立 愛知県立大学 2014年 第3問

以下の問いに答えよ．
(1)定積分∫0^πcosmxcosnxdxを求めよ．ただし，m,nは自然数とする．
(2)aとbをa＜bを満たす実数とし，f(x)とg(x)を区間[a,b]で定義された連続な関数とする．また，
∫ab{f(x)}2dx≠0,∫ab{g(x)}2dx≠0
であるとする．このとき，任意の実数tに対して
∫ab{tf(x)+g(x)}2dx≧0
が成り立つことを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．
{∫abf(x)g(x)dx・・・

　公立 秋田県立大学 2014年 第3問

関数f(x)=\frac{2x}{x2+4}について，以下の設問に答えよ．
(1)不等式f(x)＞-1/2を解け．
(2)関数f(x)の導関数を求めよ．
(3)関数f(x)の最大値および最小値を求めよ．また，そのときのxの値を求めよ．
(4)a＞0とする．x≧0において，曲線y=f(x)，x軸，および直線x=aで囲まれた部分の面積をS(a)とする．S(a)≧2となるaの値の範囲を求めよ．

　公立 横浜市立大学 2014年 第2問

ある開区間Dで与えられた関数f(x)は，2階微分可能で，第2次導関数f^{\prime\prime}(x)は連続で，更にf^{\prime\prime}(x)＜0と仮定する．以下の問いに答えよ．
(1)a1＜a2＜a3を満たすDのa1,a2,a3に対して
\frac{f(a2)-f(a1)}{a2-a1}＞\frac{f(a3)-f(a2)}{a3-a2}
を示せ．
(2)x1,x2をDの実数とする．0≦α≦1を満たすαに対して
f(αx1+(1-α)x2)≧αf(x1)+(1-α)f(x2)
を示せ．
(3)x1,x2,x3をDの実・・・

　公立 北九州市立大学 2014年 第2問

以下の問いの空欄[タ]～[ノ]に適する数値，式を記せ．
(1)iを虚数単位として，等式(2+i)(x-3yi)=1-iを満たす実数xおよびyの値を求めるとx=[タ]，y=[チ]となる．
(2)平面上に2点A(-1,1)，B(3,-1)と直線x-2y-2=0がある．この直線上に点Pをとるとき，AP+BPを最小にする点Pの座標は([ツ],[テ])となる．
(3)0≦θ＜2πの条件で，関数y=cos2θ-4sinθの最大値と最小値を求めると・・・

　公立 北九州市立大学 2014年 第3問

Sn=1-1/2+1/3-・・・+\frac{(-1)^{n-1}}{n}(n=1,2,3,・・・)と定義する．以下の問いに答えよ．
(1)x≠-1のとき，\frac{1}{x+1}=Σ_{k=0}^{n-1}(-x)k+\frac{(-x)n}{x+1}が成立することを証明せよ．
(2)n=1,2,3,・・・のとき，不等式-\frac{1}{n+1}≦∫01\frac{(-x)n}{x+1}dx≦\frac{1}{n+1}が成立することを証明せよ．
(3)Sn=Σ_{k=0}^{n-1}∫01(-x)kdxが成立す・・・

　公立 北九州市立大学 2014年 第1問

数列{an}の初項から第n項までの和をSnとし，Snが次の式で与えられるとする．
Sn=an+2n2-n-1
また，数列{bn}は次の条件によって与えられるとする．
b1=-2,b_{n+1}=2bn+an
以下の問題に答えよ．
(1)nが2以上の自然数のとき，S_{n-1}をnの式で表せ．
(2)数列{an}の一般項を求めよ．
(3)数列{bn}の一般項を求めよ．
(4)nが2以上の自然数のとき，不等式bn＞0を証明せよ．
(5)数列{bn}の初項から第n項までの和をTnとする．Tnをnの式で・・・

　国立 埼玉大学 2013年 第3問

関数f(x)=xe^{-x}について，実数a,bは次の条件を満たすものとする．
(A)∫01f(x)dx=f(a)(0＜a＜1),
(B)f(1)-f(0)=f´(b)(0＜b＜1)
また，点(0,0)，(a,ea)を通る直線をℓ1とし，点(1,0)，(b,eb)を通る直線をℓ2とする．
(1)(A)，(B)を利用して，ℓ1,ℓ2の方程式をa,bを用いずに表せ．
(2)ℓ1とℓ2の交点を求めよ．さら・・・