「不等式」について

　国立 群馬大学 2015年 第3問

aを定数，eを自然対数の底とし，f(x)=(a-x2)e^{-\frac{x2}{2}}とおく．
(1)x＞0のとき，不等式ex＞1+x+\frac{x2}{2}が成り立つことを証明せよ．これを用いて\lim_{x→∞}f(x)=0を示せ．
(2)関数f(x)が-1＜x＜2においてちょうど2個の極値をもつように，定数aの値の範囲を定めよ．
(3)aは(2)で定めた範囲にあるとする．区間(-∞,∞)におけるf(x)の最大値と最小値を求めよ．

　国立 山梨大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫xcosxdxを求めよ．
(2)不等式\frac{5x-6}{x-2}＞x+1を解け．
(3)関数f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}の増減，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べて，そのグラフをかけ．

　国立 東京学芸大学 2015年 第4問

次の(1),(2)から1題を選択し解答せよ．
(1)等式|i/z-1|=|1/z-k|を満たすすべての複素数zに対して不等式|z|≦2が成り立つような実数kの値の範囲を求めよ．
(2)実数kと2次の正方行列AはA2-kA+3E=Oを満たすとする．また，座標平面上でAの表す移動によって，点(1,1)は点(3,3)へ移り，直線y=-x上の点は同じ直線上の点に移るとする．このとき，Aを求めよ．ただし，Eは単位行列，Oは零行列を表す．
\end{en・・・

　国立 茨城大学 2015年 第1問

0＜a＜1/4のとき，M=log28a+log_{4a}1/16について，次の各問に答えよ．
(1)log2a=bとするとき，Mをbを用いて表せ．
(2)不等式M＞log_{1/3}9を満たす定数aの値の範囲を求めよ．

　国立 茨城大学 2015年 第2問

放物線C:y=-a2x2+1と直線ℓ:y=a(x+1)について，次の各問に答えよ．ただし，aはa＞0を満たす定数とする．
(1)Cとℓが異なる2つの共有点をもつとき，aの値の範囲を求めよ．
(2)ℓがCに接するとき，不等式x≦0の表す領域内においてCとℓおよびx軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 帯広畜産大学 2015年 第1問

数列{an}は初項a，公比rの等比数列であり，その一般項をanで表す．また，数列{bn}は一般項がbn=log2anで定義され，その初項から第n項までの和をSnで表す．ただし，nは自然数である．次の各問に答えなさい．
(1)a2=16，b3=2とする．
(i)r,aの値を求めなさい．
(ii)b5,S5の値を求めなさい．
(iii)不等式Sn≧10を満たすnの値をすべて求めなさい．
(2)a=2^{32},\fr・・・

　私立 立教大学 2015年 第1問

次の空欄[ア]～[コ]にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)空間内の3点A，B，CをA(0,1,1)，B(1,0,1)，C(2,2,0)とする．実数p,qを用いて点HをベクトルAH=pベクトルAB+qベクトルACで定める．原点をO(0,0,0)として，ベクトルOHがベクトルABとベクトルACの両方に垂直であるとき，p=[ア]，q=[イ]である．
(2)不等式x+3＜5|x-1|を満たす実数xの範囲は，x＜[ウ]またはx＞\kakko{エ・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第3問

不等式log_{x2+x+1}(2-x)＜0を満たすxの範囲は，
[キ]＜x＜[ク],[ケ]＜x＜[コ]
である．ただし，[ク]≦[ケ]とする．

　私立 立教大学 2015年 第1問

次の空欄[ア]～[シ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)式(2x+3y+z)(x+2y+3z)(3x+y+2z)を展開したときのxyzの係数は[ア]である．
(2)実数x,yが\frac{i}{1+xi}+\frac{x+2}{y+i}=0を満たすとき，x=[イ]，y=[ウ]である．ただし，iは虚数単位とする．
(3)定積分∫_{-2}2x|x-1|dxを求めると[エ]である．
(4)2^{1/2},3^{1/3},5^{1/5}の大小関係は[オ]＜[カ]＜\kakk・・・

　私立 慶應義塾大学 2015年 第1問

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
(1)不等式
log2(5-2x)+2log_{1/2}(x+2)≦0
をみたすxの範囲は[あ]である．
(2)2つの関数
f(x)=|x2+3bx-b/4|,g(x)=x2+3b|x|-b/4
の最小値が一致するようなbの範囲は[い]である．
(3)0≦α＜π/2のとき，関数
f(x)=sin(x-α)cosx(α≦x≦π/2)
・・・