「二項定理」について

　私立 東京都市大学 2013年 第3問

nを自然数とする．次の問に答えよ．
(1)二項定理を用いて，Σ_{k=0}n\comb{n}{k}=2nが成り立つことを示せ．
(2)ak=1/k!(0≦k≦n)に対し，Σ_{k=0}naka_{n-k}を求めよ．

　国立 福井大学 2012年 第1問

nを自然数とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)二項定理を用いて，Σ_{k=0}n\comb{n}{k}=\comb{n}{0}+\comb{n}{1}+・・・+\comb{n}{n-1}+\comb{n}{n}の値が2nに等しいことを示せ．
(2)複素数zがz2-2z+2=0をみたすとき，zおよびz^{4n}の値を求めよ．
(3)Σ_{k=0}^{2n}(-1)k・\comb{4n}{2k}=\comb{4n}{0}-\comb{4n}{2}+・・・-\comb{4n}{4n-2}+\comb{4n}{4n}の値が(-4)nに等しいことを示せ．

　私立 関西学院大学 2012年 第1問

次の文章中の[]に適する式または数値を記入せよ．
(1)xy平面における放物線
y=x2-4x+1
は放物線y=x2をx軸方向に[ア]，y軸方向に[イ]だけ平行移動することによって得られる．関数
y=x2-4x+1(a≦x≦a+1)
の最小値をmとおく．ただし，aは実数である．a＜1の場合はm=[ウ]であり，1≦a≦2の場合はm=[エ]であり，a＞2の場合はm=[オ]である．
(2){(2x2-xy-3y2)}5の展開式におけるx5y5の係数を求めよう．二・・・

　国立 岩手大学 2011年 第3問

次の文章について，後の問いに答えよ．\\\
地球温暖化問題に関して，二酸化炭素の排出量の削減が叫ばれている．2008年に日本で開かれたサミットでは，42年後の2050年までに，年当たりの排出量を2008年のときと比較して50%以上削減する，という目標が提言された．この目標を達成するために，前年比同率で削減することを考える．\\
2008年における排出量をa(a＞0)とし，毎年，前年のd×100%(0＜d＜1)を減らすこととする．2008年の1年後の2009年の排出量の目標は[\bfア]である．2008年からn年後の年間排・・・

　私立 北海道医療大学 2011年 第3問

二項定理と二項係数を用いて，以下の問に答えよ．ただし，mとnは正の整数である．
(1){(x+1)}mの展開式におけるxrの係数を求めよ．ただし，rは整数で，0≦r≦mとする．
(2){(x2+1)}nの展開式におけるx^{2s}の係数を求めよ．ただし，sは整数で，0≦s≦nとする．
(3)mを2より大きな正の整数，nを正の整数とするとき，{(x+1)}m{(x2+1)}nの展開式におけるx3の係数をmとnを用いて表せ．
(4)mを2より大きな正の整数，nを正の整数とするとき，{(x+1)}・・・

　公立 横浜市立大学 2011年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)関数
f(x)=xsin2x(0≦x≦π)
の最大値を与えるxをαとするとき，f(α)をαの分数式で表すと[1]となる．
(2)多項式
a4+b4+c4-2a2b2-2a2c2-2b2c2
を因数分解すると[2]となる．
(3)Nを与えられた自然数とし，f(x)およびg(x)を区間(-∞,∞)でN回以上微分可能な関数とする．f(x)とg(x)から定まる関数を次のように定義する．tを与えられた実数として，
\begin{array}{lll}
(f\a・・・