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以下の問いに答えよ.
(1)nが正の偶数のとき,2n-1は3の倍数であることを示せ.
(2)nを自然数とする.2n+1と2n-1は互いに素であることを示せ.
(3)p,qを異なる素数とする.2^{p-1}-1=pq2を満たすp,qの組をすべて求めよ.
公立 横浜市立大学 2014年 第2問次の問いに答えよ.
(1)次の各問いに答えよ.
\mon[(ア)]8/9<q/p<9/10をみたす自然数p,qにおけるpの最小値を記せ.
\mon[(イ)]\frac{2013}{2014}<q/p<\frac{2014}{2015}をみたす自然数p,qにおけるpの最小値を記せ.
(2)自然数a,b,c,dがad-bc=1をみたすとき,次の各問いに答えよ.
\mon[(ア)]自然数p,qがdq-cp>0,ap-bq>0をみたすとき,pの・・・
私立 吉備国際大学 2013年 第2問a,bは互いに素な整数とする.
(1)もしa2=2b2・・・・・・①が成立するなら,aは偶数であることを証明せよ.
(2)①のbも偶数であることを証明せよ.
(3)①が成立することはないということを証明せよ.
私立 成城大学 2013年 第1問座標平面において,x座標,y座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ.いま,4つの格子点O(0,0),A(a,b),B(a,b+4),C(0,b+4)を考える.ただし,aとbは互いに素な自然数とする.
(1)線分OA上には,点O,A以外の格子点は存在しないことを示せ.
(2)四角形OABCの4辺上に格子点はいくつあるか.
(3)四角形OABCの内部(辺,頂点は含まない)に格子点はいくつあるか.
国立 千葉大学 2012年 第4問p,qを互いに素な2以上の整数,m,nはm<nなる正の整数とする.このとき,分母がp2q2で,分子がpでもqでも割り切れない分数のうち,mよりも大きくnよりも小さいものの総数を求めよ.
私立 明治大学 2012年 第1問以下の[]にあてはまる値を答えよ.
(1)座標平面上の点P(x,y)が媒介変数θを用いて
\begin{array}{l}
x=-sinθ+2cosθ\
y=2sinθ+3cosθ
\end{array}
と表されているとする.このとき,原点をOとすると
OP2=[ア]√2sin([イ]θ+\frac{π}{[ウ]})+[エ]
が成り立つ.
(2)4つのサイコロを投げて,出た目の積をmとする.
(3)m=10となる確率は\displayst・・・
私立 成城大学 2012年 第2問次の文章内の[ア]~[コ]に適当な式または数値を入れよ.ただし,[ク]~[コ]はそれぞれ3つの自然数の組である.
(1)xy平面上で,点(-1,0)を通る傾きtの直線を考える.この直線が円x2+y2=1と点(x,y)(ただし,x>0,y>0)で交わるとき,yはtとxで,
y=[ア](i)
のように表される.この式を円の方程式x2+y2=1に代入して,xに関する2次方程式[イ]=0を得る.
この方程式を解いて,
x=[ウ]\tokei・・・
国立 旭川医科大学 2010年 第1問次の問いに答えよ.
(1)整数を係数とするn次方程式
f(x)=a0xn+a1x^{n-1}+a2x^{n-2}+・・・+a_{n-1}x+an=0
が有理数の解β/α(αとβは互いに素な整数とする)をもつとき,αはa0の約数でありβはanの約数であることを示せ.
(2)素数pに対して,
x+y+z=p/3,xy+yz+zx=1/p,xyz=\frac{1}{p3}
を満たすx,y,zがすべて正の有理数であるとき,pおよびx,y,zを求めよ.