「余り」について

　私立 同志社大学 2014年 第1問

次の[]に適する数または式を記入せよ．
(1)数列{an}がa1=1，a_{n+1}=4an+1で与えられているとき，a2=[ア]であり，その一般項はan=[イ]となる．また，a_{n+2}-anを5で割った余りは[ウ]である．ここで，anを5で割った余りをbnとする．このとき，b4=[エ]，b5=[オ]であり，Σ_{k=1}^{2n}akbk=[カ]である．
(2)座標平面において1次変換fによる点A(2,0)の像は点C(4,0)であり，点B(0,\・・・

　私立 東京女子大学 2014年 第4問

mを自然数とするとき，以下を証明せよ．
(1)m3-mはつねに6で割り切れる．
(2)m3-mが4で割り切れるための必要十分条件は，mを4で割った余りが2でないことである．

　私立 立教大学 2014年 第1問

次の空欄[ア]～[サ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)(log3x)(log39x)-6log9x-6=0を満たすxの値をすべて求めると，[ア]である．
(2)座標平面上に点A(1,1)，B(3,7)，C(-1,5)がある．このとき，点Cを通り直線ABと直交する直線の方程式はy=[イ]である．
(3)実数xが方程式(1+i)x2-(5+i)x+6-2i=0を満たすとき，x=[ウ]である．ただし，iは虚数単位とする．
(4)0＜θ＜π/2・・・

　私立 北里大学 2014年 第1問

次の各文の[]にあてはまる数を求めよ．
(1)0＜α＜π/2,π/2＜β＜π,cosα=3/5,sinβ=12/13を満たす2つの角α,βを考える．このとき，sin2α=[ア]，tan(α-β)=[イ]，sin(2α+β)=[ウ]となる．
(2)整式P(x)をx2-3x+2で割ると12x-5余り，x2-x-2で割ると2x+15余る．このとき，P(x)をx-1で割った余りは[エ]で，x2-1で割った余りは[オ]x+・・・

　公立 首都大学東京 2014年 第1問

5で割ったときの余りが2または3である1000以下の正の奇数を小さい順に並べたものをa1,・・・,aNとする．例えば，a1=3，a2=7，a3=13である．以下の問いに答えなさい．
(1)Nを求めなさい．
(2)a1+・・・+aNを求めなさい．

　公立 岐阜薬科大学 2014年 第5問

異なるn個の整数1,2,3,・・・,nの中から3個の整数を選び，それらの和を3で割った余りが0,1,2となる確率をそれぞれpn，qn，rnとするとき，次の問いに答えよ．
(1)同じ整数を重複して選ぶことを許すとき，p9，q9，r9を求めよ．
(2)同じ整数を重複して選ぶことを許さないとき，
(i)p_{3k}，q_{3k}，r_{3k}をkを用いて表せ．ただし，k≧3とする．
(ii)\lim_{k→∞}p_{3k}を求めよ．
\end{en・・・

　公立 釧路公立大学 2014年 第3問

n,mを整数とする．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)n2を5で割った余りは0,1または4であることを証明せよ．
(2)nを5で割った余りが4のとき，n2+nは5の倍数であることを証明せよ．
(3)m＞1のとき，m3-mが6の倍数であることを証明せよ．

　公立 奈良県立医科大学 2014年 第3問

(4x3-2x2+3)3をx2-x+1で割ったときの余りを求めよ．

　国立 京都大学 2013年 第3問

nを自然数とし，整式xnを整式x2-2x-1で割った余りをax+bとする．このときaとbは整数であり，さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ．

　国立 京都大学 2013年 第3問

nとkを自然数とし，整式xnを整式(x-k)(x-k-1)で割った余りをax+bとする．
(1)aとbは整式であることを示せ．
(2)aとbをともに割り切る素数は存在しないことを示せ．