「内積」について

　私立 関西学院大学 2011年 第2問

座標空間において，原点をOとし，点A(1,0,0)をとる．また，xy平面上にあり，中心が原点，半径が1の円をCとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)Cのy≧0の部分にある点Pについて∠AOP=t(0≦t≦π)とする．このとき，点Pの座標をtを用いて表せ．
(2)点QをベクトルOQ=-ベクトルOPを満たす点とし，点B(√3,1,1)をとる．このとき，内積ベクトルBP・ベクトルBQを求めよ．また，|ベクトルBP|2=m-nsin(t+\a・・・

　公立 大阪府立大学 2011年 第2問

四面体OABCと，Oと異なる点Gが与えられているとき，以下の問いに答えよ．
(1)等式　AG　2=　OG　2-2ベクトルOG・ベクトルOA+　OA　2を示せ．ただし，ベクトルOG・ベクトルOAはベクトルOGとベクトルOAの内積を表す．
(2)ベクトルOGが
ベクトルOG=aベクトルOA+bベクトルOB+cベクトルOC
と表されているとき，
a　AG　2+b　BG　2+c　CG　2=a　OA　2+b　OB　2+c　OC　2
が成り立つための実数a,b,cについての条件を求めよ．

　国立 東北大学 2010年 第4問

四面体ABCDにおいて，辺ABの中点をM，辺CDの中点をNとする．以下の問いに答えよ．
(1)等式
ベクトルPA+ベクトルPB=ベクトルPC+ベクトルPD
を満たす点Pは存在するか．証明をつけて答えよ．
(2)点Qが等式
|ベクトルQA+ベクトルQB|=|ベクトルQC+ベクトルQD|
を満たしながら動くとき，点Qが描く図形を求めよ．
(3)点Rが等式
|ベクトルRA|2+|ベクトルRB|2=|ベクトルRC|2+|ベクトルRD|2
を満たしながら動くとき，内積ベクトルMN・ベクトルMRはRのとり方によらず一定であることを示せ．
(4)(2)の・・・

　国立 東北大学 2010年 第4問

四面体ABCDにおいて，辺ABの中点をM，辺CDの中点をNとする．以下の問いに答えよ．
(1)等式
ベクトルPA+ベクトルPB=ベクトルPC+ベクトルPD
を満たす点Pは存在するか．証明をつけて答えよ．
(2)点Qが等式
|ベクトルQA+ベクトルQB|=|ベクトルQC+ベクトルQD|
を満たしながら動くとき，点Qが描く図形を求めよ．
(3)点Rが等式
|ベクトルRA|2+|ベクトルRB|2=|ベクトルRC|2+|ベクトルRD|2
を満たしながら動くとき，内積ベクトルMN・ベクトルMRはRのとり方によらず一定であることを示せ．
(4)(2)の・・・

　国立 広島大学 2010年 第2問

座標平面上に点O(0,0)と点P(4,3)をとる．不等式(x-5)2+(y-10)2≦16の表す領域をDとする．次の問いに答えよ．
(1)kは定数とする．直線y=-4/3x+k上の点をQとするとき，ベクトルベクトルOQとベクトルOPの内積ベクトルOQ・ベクトルOPをkを用いて表せ．
(2)点RがD全体を動くとき，ベクトルベクトルOPとベクトルORの内積ベクトルOP・ベクトルORの最大値および最小値を求めよ．

　国立 広島大学 2010年 第1問

行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array})の表す1次変換fによって，点P1(1,0)が点P2(0,3)に移され，点P2が点P3に，点P3が点P1(1,0)にそれぞれ移されるとする．次の問いに答えよ．ただし，a,b,c,dは実数である．
(1)行列Aを求めよ．
(2)自然数nに対してAnを求めよ．
(3)O(0,0)とする．点P(cosθ,sinθ)がfによって点Qに移されるとする．0≦θ≦2πのとき，ベクトルベクトルOPとベクトルOQの内積\vect・・・

　国立 金沢大学 2010年 第2問

座標空間において，中心がA(0,0,a)(a＞0)で半径がrの球面
x2+y2+(z-a)2=r2
は，点B(√5,√5,a)と点(1,0,-1)を通るものとする．次の問いに答えよ．
(1)rとaの値を求めよ．
(2)点P(cost,sint,-1)について，ベクトルベクトルABとベクトルAPを求めよ．さらに内積ベクトルAB・ベクトルAPを求めよ．
(3)△ABPの面積Sをtを用いて表せ．また，tが0≦t≦2πの範囲を動くとき，Sの最小値と，そのときのtの値を求めよ．
\end{e・・・

　国立 愛媛大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)次の連立不等式を解け．
{
\begin{array}{l}
4x2-4x-15＜0\\
x2-2x≧0
\end{array}
.
(2)鈍角三角形ABCにおいて，　BC　=1,　CA　=√3,∠　A　=30°であるとき，ABの長さを求めよ．
(3)原点O，および3点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)がある．0＜s＜1に対して，線分AB，線分CAをs:(1-s)に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積ベクトルOP・ベクトルOQをsを用いて表せ．
(4)方程式(・・・

　国立 香川大学 2010年 第1問

点Oを中心とし，半径1の円に内接する△ABCが
ベクトルOA+√3\;ベクトルOB+2\;ベクトルOC=ベクトル0
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積ベクトルOA・ベクトルOB,ベクトルOA・ベクトルOCを求めよ．
(2)∠　AOB　,∠　AOC　を求めよ．
(3)△ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．

　国立 香川大学 2010年 第1問

点Oを中心とし，半径1の円に内接する△ABCが
ベクトルOA+√3\;ベクトルOB+2\;ベクトルOC=ベクトル0
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積ベクトルOA・ベクトルOB,ベクトルOA・ベクトルOCを求めよ．
(2)∠　AOB　,∠　AOC　を求めよ．
(3)△ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．