「凹凸」について

　国立 金沢大学 2015年 第2問

関数f(x)=xexについて，次の問いに答えよ．
(1)関数y=f(x)について，増減および凹凸を調べ，そのグラフをかけ．ただし，必要ならば\lim_{x→-∞}xex=0を用いてもよい．
(2)不定積分∫xexdx，∫x2e^{2x}dxをそれぞれ求めよ．
(3)0≦t≦1に対しg(x)=f(x)-f(t)とおく．0≦x≦1の範囲で，曲線y=g(x)とx軸ではさまれる部分を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をV(t)とする．V(t)を求めよ．
・・・

　国立 九州工業大学 2015年 第1問

関数f(x)=e^{-x}cos√3xについて以下の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)0≦x≦\frac{2√3}{3}πの範囲でf(x)=0をみたすxの値をすべて求めよ．
(2)0≦x≦\frac{2√3}{3}πの範囲でf(x)の増減を調べよ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(3)部分積分を2回用いてf(x)の不定積分を求めよ．
(4)0≦x≦\frac{2√3}{3}πの範囲で2つの曲線y=f(x)とy=e^{-x}によって囲まれ・・・

　国立 九州工業大学 2015年 第3問

nを2以上の自然数とし，関数f(x)をf(x)=xnlogx(x＞0)とする．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．
(1)x＞0のとき，不等式logx+1/x＞0を証明せよ．
(2)\lim_{x→+0}xnlogx=0を示せ．
(3)関数f(x)の増減を調べ，その最小値を求めよ．また，曲線y=f(x)の概形をかけ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてよい．
(4)f(x)が最小値をとるときのxの値をcnとし
In=∫_{cn}1f(x)dx
とする．\lim_{n→\inft・・・

　国立 山梨大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫xcosxdxを求めよ．
(2)不等式\frac{5x-6}{x-2}＞x+1を解け．
(3)関数f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}の増減，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べて，そのグラフをかけ．

　国立 宮城教育大学 2015年 第4問

f(x)=\frac{x}{(2x-1)(x-2)}とする．以下の問に答えよ．
(1)g(x)=2x3-6x+5とする．このとき，-3＜α＜-1かつg(α)=0をみたすαが存在することを示せ．さらに，x＜αではg(x)＜0であり，x＞αではg(x)＞0であることを示せ．
(2)(1)のαを用いて，関数y=f(x)の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．

　国立 茨城大学 2015年 第1問

f(x)=2xe^{-x}とおく．ただし，eは自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．
(1)0≦x≦3の範囲で，関数y=f(x)の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)正の実数aに対して，Ia=∫01xe^{-ax}dx，Ja=∫01x2e^{-ax}dxとおく．JaをIaとaを用いて表せ．
(3)定積分∫01f(x)dxおよび∫01{f(x)}2dxを求めよ．
(4)曲線y=f(x)と，3直線x=0，・・・

　私立 南山大学 2015年 第3問

関数f(x)=xe^{-x}を考える．
(1)0≦x≦4の範囲でf(x)の増減と凹凸を調べ，0≦x≦4の範囲でy=f(x)のグラフをかけ．
(2)tを正の数とし，y=f(x)のグラフとx軸，および直線x=tとx=2tで囲まれた図形の面積S(t)をtの式で表せ．
(3)(2)のS(t)が最大となるtの値を求めよ．また，S(t)の最大値を求めよ．

　国立 東京医科歯科大学 2014年 第3問

aを正の実数，kを自然数とし，x＞0で定義される関数
f(x)=∫a^{ax}\frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku}du
を考える．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)f(x)の増減および凹凸を調べ，y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(2)y=f(x)のx=1における接線の方程式を求めよ．
(3)Sを正の実数とするとき，f(p)=Sを満たす実数pがただ1つ存在することを示せ．
(4)b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}とおくとき，(2)のS,pについて，次の不等式が成立することを示せ．
1+bS＜p＜e^{bS}
\e・・・

　国立 三重大学 2014年 第4問

関数f(x)=sin(3/2x)+3/4xとg(x)=3/4xについて，以下の問いに答えよ．ただし，0≦x≦πとする．
(1)f(x)の増減，凹凸を調べ，極値を求めよ．また，y=f(x)のグラフをかけ．
(2)y=f(x)とy=g(x)のグラフの共有点を求めよ．
(3)y=f(x)とy=g(x)のグラフで囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 大阪教育大学 2014年 第3問

曲線y=\frac{x2}{x2+3}をCとし，座標平面上の原点をOとする．以下の問に答えよ．
(1)曲線Cの凹凸，変曲点，漸近線を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線Cの接線で原点を通るものをすべて求めよ．また，その接点を求めよ．
(3)Pを原点を中心とする半径\frac{\sqrt{17}}{4}の円周上の点とする．点Pを点A(0,\frac{\sqrt{17}}{4})から時計回りに動かすとき，原点以外に線分OPが初めて曲線Cと共有点をもつと・・・