「単位行列」について

　国立 埼玉大学 2012年 第2問

行列Aを(
\begin{array}{ccc}
a&1\\
b&2
\end{array}
)とし，E,Oをそれぞれ2次の単位行列，零行列とする．
(1)A2-5A+4E=Oを満たす実数a,bを求めよ．
(2)nを2以上の自然数とする．xnをx2-5x+4で割った余りを求めよ．
(3)a,bを(1)で求めた実数とする．2以上の自然数nに対して，Anを求めよ．

　国立 静岡大学 2012年 第2問

行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array})が
A2-4A+3E=O
を満たしている．ただし，Eは2次の単位行列，Oは2次の零行列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)a+dのとり得るすべての値を求めよ．
(2)aが整数でb=cとなるようなAをすべて求めよ．

　国立 横浜国立大学 2012年 第2問

行列X=(
\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}
),Y=(
\begin{array}{cc}
-2&3\\
3&6
\end{array}
)はXY=YXを満たす．次の問いに答えよ．
(1)c,dをa,bを用いて表せ．
(2)X2=E,b＞0のとき，Xを求めよ．ただし，Eは単位行列とする．
(3)xy平面上に直線ℓがあり，(2)で求めた行列Xの表す1次変換によってℓ上の点はすべてℓ上の点に移される．ℓの方程式を求めよ．

　国立 静岡大学 2012年 第3問

行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array})が
A2-4A+3E=O
を満たしている．ただし，Eは2次の単位行列，Oは2次の零行列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)a+dのとり得るすべての値を求めよ．
(2)aが整数でb=cとなるようなAをすべて求めよ．

　国立 信州大学 2012年 第5問

行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array})は次の条件をみたすものとする．
\begin{eqnarray}
a+d=1,&&A2-A-2E=O\nonumber\\
&&(　ただし，　E　は単位行列で，　O　は零行列である．　)\nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問いに答えよ．
(1)次の関係をみたす実数x,yはx=y=0に限ることを示せ．
xA+yE=O
(2)自然数nに対し，Anはある実数xn,ynを用いて，An=xnA+ynEの形で表せることを示し，数列{xn-yn},{2xn+yn}の一般・・・

　国立 名古屋工業大学 2012年 第3問

a,bは定数でa≠0とする．自然数nに対して，整式(ax+b)nをx2+1で割った余りをanx+bnと表し，
In=∫01\frac{(ax+b)n}{x2+1}dx
とおく．
(1)行列Aは，すべてのnに対して，
\biggl(\begin{array}{c}
a_{n+1}\\
b_{n+1}
\end{array}\biggr)=A\biggl(\begin{array}{c}
a_{n}\\
b_{n}
\end{array}\biggr)
を満たす．行列Aを求めよ．
(2)(1)で求めた行列Aに対し，
A2+pA+qE=O
となる定数p,qをa,bを用いて表せ．ただし，Eは単位行列，Oは零行・・・

　国立 佐賀大学 2012年 第4問

サイコロを4回投げて，1，2，3，4回目に出た目をそれぞれa,b,c,dとするとき，行列Aを\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
-c&-d
\end{array}\biggr)で定める．次の問いに答えよ．
(1)A2-(a-d)A-(ad-bc)E=Oを示せ．ただし，E,Oはそれぞれ2次の単位行列，零行列とする．
(2)nを2以上の自然数とするとき，A2=Oが成り立つための必要十分条件は，ad=bcおよびa=dが成り立つことである．これを示せ．
(3)nを2以上の自然数とする．An=Oとなる確率を求めよ．

　国立 群馬大学 2012年 第5問

a,bは実数で，b＞0とする．またA=(\begin{array}{cc}
a&-b\\
b&a
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
-1/2&-\frac{√3}{2}\\
\frac{√3}{2}&-1/2
\end{array})とし，A2=-E（Eは2次単位行列）が成り立つとする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)a,bの値を求めよ．
(2)行列の和A+A2+A3+・・・+A^{15}+A^{16}+A^{17}を求めよ．
(3)行列の和A^{17}+A^{16}B+A^{15}B2・・・

　国立 徳島大学 2012年 第3問

2次の正方行列Aで表される1次変換をfとする．Oを原点とする座標平面上に，異なる2点P(x1,y1)，Q(x2,y2)があって，次の2つの条件を満たす．
条件1：1次変換fにより，点Pは点(-2x2,-2y2)に移る．
条件2：合成変換f\circfにより，点Qは点(4x1,4y1)に移る．

(1)行列A3で表される1次変換により，点Pは点(-8x1,-8y1)に，点Qは点(-8x2,-8y2)に移ることを示せ．
(2)3点O，P，Qは同一直線上にないことを示し，x1y2-x2y1\・・・

　国立 山形大学 2012年 第4問

2次正方行列
A=(\begin{array}{cc}
\frac{1+3√3}{2}&-√3\
\frac{5√3}{2}&\frac{1-3√3}{2}
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
1&1\\
2&1
\end{array})
について，次の問に答えよ．
(1)A,Bは逆行列をもつことを示し，A^{-1},B^{-1}を求めよ．
(2)B^{-1}A^{-1}B,(B^{-1}A^{-1}B)3を求めよ．
(3)A7BX=Bをみたす2次正方行列Xを求めよ．
(4)(3)の行列Xについて
E・・・