「各問」について

　国立 茨城大学 2015年 第1問

0＜a＜1/4のとき，M=log28a+log_{4a}1/16について，次の各問に答えよ．
(1)log2a=bとするとき，Mをbを用いて表せ．
(2)不等式M＞log_{1/3}9を満たす定数aの値の範囲を求めよ．

　国立 茨城大学 2015年 第2問

放物線C:y=-a2x2+1と直線ℓ:y=a(x+1)について，次の各問に答えよ．ただし，aはa＞0を満たす定数とする．
(1)Cとℓが異なる2つの共有点をもつとき，aの値の範囲を求めよ．
(2)ℓがCに接するとき，不等式x≦0の表す領域内においてCとℓおよびx軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 茨城大学 2015年 第3問

nを自然数とする．3次方程式2x3-25x2+(5n+2)x-35=0について，次の各問に答えよ．
(1)方程式の1つの解が自然数であるとき，nの値を求めよ．
(2)(1)で求めたnに対して，方程式の解をすべて求めよ．

　国立 茨城大学 2015年 第4問

鋭角三角形ABCについて，点B，Cから対辺に下ろした垂線をそれぞれBD，CEとし，2線分BD，CEの交点をFとするとき，次の各問に答えよ．
(1)BE・BA+CD・CA=BF・BD+CF・CEを示せ．
(2)BC2=BE・BA+CD・CAを示せ．

　国立 茨城大学 2015年 第1問

f(x)=2xe^{-x}とおく．ただし，eは自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．
(1)0≦x≦3の範囲で，関数y=f(x)の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)正の実数aに対して，Ia=∫01xe^{-ax}dx，Ja=∫01x2e^{-ax}dxとおく．JaをIaとaを用いて表せ．
(3)定積分∫01f(x)dxおよび∫01{f(x)}2dxを求めよ．
(4)曲線y=f(x)と，3直線x=0，・・・

　国立 茨城大学 2015年 第1問

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，eは自然対数の底である．
(1)関数f(x)=x2\sqrt{1+logx}のx=e3における微分係数f´(e3)を求めよ．
(2)0≦x≦πの範囲において，2つの曲線y=sinxとy=sinx/2で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)極限\lim_{x→2}\frac{1}{x3-8}∫2xt22^{t2}dtを求めよ．

　国立 茨城大学 2015年 第2問

以下の各問に答えよ．
(1)0でない2つの実数a,bがa+b+1=0を満たすとき，\frac{b2}{a}+1/ab+\frac{a2}{b}の値を求めよ．
(2)xの3次方程式x3-(m+1)x2-x+m+1=0が異なる3つの実数解をもつとする．これら3つの実数解からなる数列が公差2の等差数列となるような定数mの値をすべて求めよ．
(3){21}^{2015}を400で割ったときの余りを求めよ．

　国立 茨城大学 2015年 第3問

Oを原点とするxyz空間内の2点をA(3,-1,2)，B(0,5,8)とする．ベクトルAB=3ベクトルAPを満たす点Pを通り，直線ABに垂直な平面αを考える．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)点Pの座標を求めよ．
(2)平面αがx軸，y軸，z軸と交わる点をそれぞれL，M，Nとするとき，四面体OLMNの体積を求めよ．

　国立 茨城大学 2015年 第4問

xy平面において，関数y=\frac{1}{√x}が表す曲線をCとし，C上の点P(t,\frac{1}{√t})を考える．ただし，t＞0とする．点Pにおける曲線Cの接線がx軸と交わる点をQとする．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)点Qの座標を求めよ．
(2)曲線C，x軸，直線x=t，および点Qを通りx軸に垂直な直線で囲まれた部分を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．
(3)線分PQの長さをL(t)・・・

　国立 茨城大学 2015年 第2問

座標平面上の相異なる3点P，Q，Rが2つの条件
{\begin{array}{l}
|ベクトルPQ|=|ベクトルQR|\
ベクトルQP・ベクトルQR=-1/3\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.・・・・・・(*)
を満たしながら動くものとする．|ベクトルPQ|をaとする．以下の各問に答えよ．
(1)|ベクトルPR|をaで表せ．
(2)∠PQR=2/3πのときのaを求めよ．また，∠PQR=πのと・・・