「各問」について
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(1ページ目:全322問中1問~10問を表示)0<a<1/4のとき,M=log28a+log_{4a}1/16について,次の各問に答えよ.
(1)log2a=bとするとき,Mをbを用いて表せ.
(2)不等式M>log_{1/3}9を満たす定数aの値の範囲を求めよ.
![茨城大学](./img/univ/ibaraki.png)
放物線C:y=-a2x2+1と直線ℓ:y=a(x+1)について,次の各問に答えよ.ただし,aはa>0を満たす定数とする.
(1)Cとℓが異なる2つの共有点をもつとき,aの値の範囲を求めよ.
(2)ℓがCに接するとき,不等式x≦0の表す領域内においてCとℓおよびx軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
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nを自然数とする.3次方程式2x3-25x2+(5n+2)x-35=0について,次の各問に答えよ.
(1)方程式の1つの解が自然数であるとき,nの値を求めよ.
(2)(1)で求めたnに対して,方程式の解をすべて求めよ.
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鋭角三角形ABCについて,点B,Cから対辺に下ろした垂線をそれぞれBD,CEとし,2線分BD,CEの交点をFとするとき,次の各問に答えよ.
(1)BE・BA+CD・CA=BF・BD+CF・CEを示せ.
(2)BC2=BE・BA+CD・CAを示せ.
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f(x)=2xe^{-x}とおく.ただし,eは自然対数の底とする.以下の各問に答えよ.
(1)0≦x≦3の範囲で,関数y=f(x)の増減,極値,グラフの凹凸,変曲点を調べて,そのグラフの概形をかけ.
(2)正の実数aに対して,Ia=∫01xe^{-ax}dx,Ja=∫01x2e^{-ax}dxとおく.JaをIaとaを用いて表せ.
(3)定積分∫01f(x)dxおよび∫01{f(x)}2dxを求めよ.
(4)曲線y=f(x)と,3直線x=0,・・・
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以下の各問に答えよ.ただし,対数は自然対数であり,eは自然対数の底である.
(1)関数f(x)=x2\sqrt{1+logx}のx=e3における微分係数f´(e3)を求めよ.
(2)0≦x≦πの範囲において,2つの曲線y=sinxとy=sinx/2で囲まれた部分の面積を求めよ.
(3)極限\lim_{x→2}\frac{1}{x3-8}∫2xt22^{t2}dtを求めよ.
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以下の各問に答えよ.
(1)0でない2つの実数a,bがa+b+1=0を満たすとき,\frac{b2}{a}+1/ab+\frac{a2}{b}の値を求めよ.
(2)xの3次方程式x3-(m+1)x2-x+m+1=0が異なる3つの実数解をもつとする.これら3つの実数解からなる数列が公差2の等差数列となるような定数mの値をすべて求めよ.
(3){21}^{2015}を400で割ったときの余りを求めよ.
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Oを原点とするxyz空間内の2点をA(3,-1,2),B(0,5,8)とする.ベクトルAB=3ベクトルAPを満たす点Pを通り,直線ABに垂直な平面αを考える.このとき,以下の各問に答えよ.
(1)点Pの座標を求めよ.
(2)平面αがx軸,y軸,z軸と交わる点をそれぞれL,M,Nとするとき,四面体OLMNの体積を求めよ.
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xy平面において,関数y=\frac{1}{√x}が表す曲線をCとし,C上の点P(t,\frac{1}{√t})を考える.ただし,t>0とする.点Pにおける曲線Cの接線がx軸と交わる点をQとする.このとき,以下の各問に答えよ.
(1)点Qの座標を求めよ.
(2)曲線C,x軸,直線x=t,および点Qを通りx軸に垂直な直線で囲まれた部分を,x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ.
(3)線分PQの長さをL(t)・・・
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座標平面上の相異なる3点P,Q,Rが2つの条件
{\begin{array}{l}
|ベクトルPQ|=|ベクトルQR|\
ベクトルQP・ベクトルQR=-1/3\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.・・・・・・(*)
を満たしながら動くものとする.|ベクトルPQ|をaとする.以下の各問に答えよ.
(1)|ベクトルPR|をaで表せ.
(2)∠PQR=2/3πのときのaを求めよ.また,∠PQR=πのと・・・