「各問」について

　国立 一橋大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)自然数x,yは，1＜x＜yおよび
(1+1/x)(1+1/y)=5/3
をみたす．x,yの組をすべて求めよ．
(2)自然数x,y,zは，1＜x＜y＜zおよび
(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=12/5
をみたす．x,y,zの組をすべて求めよ．

　国立 帯広畜産大学 2011年 第1問

自然数nについて，{an}は初項a，公差dの等差数列であり，{bn}は初項b，公比rの等比数列である．数列{an}の一般項をanで表し，その初項から第n項までの和をSaとする．また，数列{bn}の一般項をbnで表し，その初項から第n項までの和をSbとする．次の各問に解答しなさい．
(1)d=2a,a≠0とする．
(i)dとnを用いてanを表しなさい．また，aとnを用いてSaを表しなさい．
(ii)不等式6an＜a_{n+1}+27dおよび・・・

　国立 茨城大学 2011年 第1問

四角形ABCDに対して次の各問に答えよ．
(1)点PをベクトルAP+ベクトルBP+ベクトルCP+ベクトルDP=ベクトル0となる点とする．ベクトルAPをベクトルAB，ベクトルAC，ベクトルADを用いて表せ．
(2)線分ACと線分BDが交わり，その交点が(1)の点Pと一致するとき，四角形ABCDの形状を理由をつけて述べよ．

　国立 茨城大学 2011年 第3問

k=1,2に対して放物線y=x2-kx+1をCkで表す．点A(1,1)でのC1の接線に，点Aで直交している直線をℓとし，ℓとC2の交点のうちx座標が正となる点をBとする．次の各問に答えよ．
(1)点Bの座標を求めよ．
(2)曲線C1,C2と線分ABで囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 茨城大学 2011年 第1問

f(x)=e^{-x2}(x≧0)とする．以下の各問に答えよ．
(1)x≧0に対して，不等式ex＞xおよびex＞\frac{x2}{2}が成り立つことを示せ．
(2)\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0および\lim_{t→+0}tlog1/t=0を示せ．
(3)f(x)は減少関数であることを示せ．また，y=f(x)の逆関数x=g(y)を求めよ．
(4)aを0＜a＜1を満たす実数とする．y軸，y＝f(x)のグラフおよび直線y=aで囲まれた図形をy軸のまわりに1回転して・・・

　国立 茨城大学 2011年 第3問

点Aを(-2,0)，点Eを(2,0)とする．3つの点B，C，Dは，　AB　=　BC　=　CD　=　DE　を満たし，かつ，直線ABと直線CDが直角に交わり，直線BCと直線DEが直角に交わる．点B，C，Dの位置を調べるために，ベクトルBS=ベクトルCDとなるような点Sをとる．点Sのy座標をsとする．以下の各問に答えよ．
(1)ASとESの長さを比較し，点Sが満たす条件を求めよ．
(2)点Bが直線ASの上側にある場合を考える．ベクトルSBと点Bの座標をsで表せ．sが変化するときに点Bが描く図形は何か．
(3)点Dが直線ESの上側・・・

　国立 茨城大学 2011年 第4問

関数f(x)は
f(x)={
\begin{array}{l}
x3-3x2+2x\;(x≦2　のとき　)\\
x-2\qquad\qquad(x＞2　のとき　)
\end{array}
.
で定義されている．次の各問に答えよ．
(1)y=f(x)のグラフを描け．
(2)a≦x≦a+2でのf(x)の最大値がf(a+2)と等しくなるような実数aの範囲を求めよ．

　国立 茨城大学 2011年 第1問

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，eは自然対数の底である．
(1)次の関数を微分せよ．
\mon[(i)]y=sin32x
\mon[(ii)]y=log\frac{ex}{ex+1}
(2)次の不定積分を求めよ．
(3)∫\frac{1}{x2}(1+2/x)2dx
\mon[(ii)]∫\frac{x2}{x2-1}dx
(4)定積分∫_{-1}^{log2}e^{|x|}e^{x}dxを求めよ．
\end{e・・・

　国立 茨城大学 2011年 第2問

a,b,cは実数の定数で，a＞0,b≧0とする．実数x,yに関する条件p,q,rを次のように定める．
\begin{align}
&p:x2+y2≦1\nonumber\\
&q:(x-1/2)2+(y-1/2)2≦a2\nonumber\\
&r:y≦√bx+c\nonumber
\end{align}
以下の各問に答えよ．
(1)条件qが条件pであるための十分条件となるとき，aの値の範囲を求めよ．
(2)条件rが条件pであるための必要条件となるとき，b,cが満たす条件を求め，それをbc平面に図・・・

　国立 茨城大学 2011年 第3問

1個のさいころを続けて4回投げて，出た目の数を順にa,b,c,dとする．このとき，座標平面上の点P1，P2，P3，P4を手順1から手順4で定める．
手順1．原点Oからx軸の正の向きにaだけ移動した点をP1とする．
手順2．点P1からy軸の正の向きにbだけ移動した点をP2とする．
手順3．点P2からx軸の負の向きにcだけ移動した点をP3とする．
手順4．点P3からy軸の負の向きにdだけ移動した点をP4とする．
以下の各問に答えよ．
\begi・・・