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下図の平行六面体において,ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルc=ベクトルOC,ベクトルd=ベクトルODとし,△ACDと線分OFの交点をHとする.さらに,四面体OACDが1辺の長さ1の正四面体であるとする.このとき,次の各問に答えよ.
(プレビューでは図は省略します)
(1)△ACDの重心が点Hに一致することを示し,2つの線分OHとHFの比OH:HFを求めよ.
(2)内積ベクトルHE・ベクトルHFの値を求めよ.
(3)△\ten{・・・
国立 宮崎大学 2014年 第4問tを定数とする2次方程式z2-tz+t-1/2=0について,次の各問に答えよ.ただし,定数tは実数とする.
(1)この2次方程式が実数解をもち,すべての解が-1以上1以下であるような定数tの値の範囲を求めよ.
(2)この2次方程式が2つの共役な虚数解z=x±yi(x,yは実数,iは虚数単位)をもち,x2+y2≦1を満たすような定数tの値の範囲を求めよ.
国立 宮崎大学 2014年 第1問曲線C1:y=cosx(0≦x≦π/2)上の点(t,cost)(0<t<π/2)における曲線C1の接線をℓとする.また,2直線x=0,x=π/2と接線ℓとの交点をそれぞれA,Bとし,放物線C2:y=-\frac{x2}{2}+ax+cが2点A,Bを通るものとする.このとき,次の各問に答えよ.
(1)接線ℓの方程式を求めよ.
(2)2曲線C1,C2と2直線x・・・
国立 宮崎大学 2014年 第2問下図の平行六面体において,ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルc=ベクトルOC,ベクトルd=ベクトルODとし,△ACDと線分OFの交点をHとする.さらに,四面体OACDが1辺の長さ1の正四面体であるとする.このとき,次の各問に答えよ.
(プレビューでは図は省略します)
(1)△ACDの重心が点Hに一致することを示し,2つの線分OHとHFの比OH:HFを求めよ.
(2)内積ベクトルHE・ベクトルHFの値を求めよ.
(3)△\ten{・・・
国立 宮崎大学 2014年 第3問a>0,a≠1,b>0とする.このとき,変数xの関数
f(x)=4x2+4xlogab+1
について,次の各問に答えよ.
(1)2次方程式f(x)=0が重解を持つようなすべてのa,bを,座標平面上の点(a,b)として図示せよ.
(2)2次方程式f(x)=0が0<x<1/2の範囲内にただ1つの解を持つようなすべてのa,bを,座標平面上の点(a,b)として図示せよ.
(3)放物線y=f(x)の頂点の座標を(X,Y)とする.点(a,b)が(2)の条件を満たしながら動くとき,点(X,Y)の軌跡を座標・・・
国立 宮崎大学 2014年 第1問次の各問に答えよ.ただし,eは自然対数の底を表す.
(1)次の関数を微分せよ.
(i)y=\frac{cosx}{1-sinx}\qquad(ii)y=(x+2)\sqrt{x2+2x+5}
(2)次の定積分の値を求めよ.
(i)∫12\frac{ex+e^{-x}}{ex-e^{-x}}dx
(ii)∫0^{π/6}sin(3x)sin(5x)dx
(iii)∫01\frac{x3+3x2}{x2+3x+2}dx
\vspace{・・・
国立 宮崎大学 2014年 第2問下図の平行六面体において,ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルc=ベクトルOC,ベクトルd=ベクトルODとし,△ACDと線分OFの交点をHとする.さらに,四面体OACDが1辺の長さ1の正四面体であるとする.このとき,次の各問に答えよ.
(プレビューでは図は省略します)
(1)△ACDの重心が点Hに一致することを示し,2つの線分OHとHFの比OH:HFを求めよ.
(2)内積ベクトルHE・ベクトルHFの値を求めよ.
(3)△\ten{・・・
国立 宮崎大学 2014年 第3問次の各問に答えよ.
(1)下図のように半径r1の円O1と半径r2の円O2が外接している.円O1と円O2の接点をPとする.円O1の周上に点Pと異なる点Aをとり,線分APの延長と円O2の交点をBとする.また,円O1の周上に点P,点Aと異なる点Cをとり,線分CPの延長と円O2の交点をDとする.このとき,次の(i),(ii)に答えよ.
(プレビューでは図は省略します)
\beg・・・
国立 宮崎大学 2014年 第4問2つの数列{an}と{bn}が,a1=1,b1=1および
{\begin{array}{ll}
a_{n+1}=2an+6bn&(n=1,2,3,・・・)\
b_{n+1}=2an+3bn&(n=1,2,3,・・・)
\end{array}.
で定められているとき,次の各問に答えよ.
(1)a_{n+2}-αa_{n+1}=β(a_{n+1}-αan)(n=1,2,3,・・・)を満たす定数α,βの組を2組求めよ.
(2)anを,nを用いて表せ.
(3)極限値\lim_{n→∞}\frac{an}{bn}を求めよ.
国立 宮崎大学 2014年 第5問白球6個と黒球4個がある.はじめに,白球6個を横1列に並べる.次に,
1から6の目がそれぞれ1/6の確率で出るサイコロを1つ投げて,出た目の数がaであれば,並んでいる球の左からa番目の球の左に黒球を1個入れる
という操作を4回繰り返す.例えば,
1回目に1の目,2回目に5の目,3回目に5の目,4回目に2の目
が出た場合の球の並びの変化は下の図のようになる.
(プレビューでは図は省略します)
最終的・・・