「命題」について

　国立 群馬大学 2014年 第1問

a1,a2,a3,b1,b2,b3をそれぞれ1から9までの整数とし，a1,a2,a3,b1,b2,b3の中に同じ数がいくつあってもよいとする．[a1a2a3]は3桁の整数a1×100+a2×10+a3×1を表し，[b1b2b3]は3桁の整数b1×100+b2×10+b3×1を表し，[b1b2b326]は5桁の整数b1×10000+b2×1000+b3×100+2×10+6×1を表すとする．p,q,rを次の条件とする．
p:[a1a2a3]-1は50で割り切れる．・・・

　国立 奈良教育大学 2014年 第5問

nを正の整数とする．次の命題を証明せよ．
(1)n2が奇数ならば，nは奇数である．
(2)n3が5で割り切れるならば，nは5で割り切れる．

　国立 山口大学 2014年 第3問

次の問いに答えなさい．
(1)2つの整数a,bが1+√2=a+b√2を満たすならば，a=b=1であることを示しなさい．ただし，√2が無理数であることは示さなくてよい．
(2)kを自然数とする．2つの整数a,bが(1+√2)^{k+1}=a+b√2を満たしているとき，(1+√2)k=a´+b´√2を満たす整数a´,b´をa,bを用いて表しなさい．
(3)すべての自然数nに対して，
命題「2つの整数a,bが(1+√2)n=a+b√2を満たしている・・・

　国立 愛媛大学 2014年 第4問

E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})，O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})とし，tは実数とする．Aは，A3=Eを満たす2次の正方行列とする．
(1)(A-tE)(A2+tA+t2E)をtとEを用いて表せ．
(2)t≠1のときA-tEは逆行列をもつことを示せ．
(3)次の3つの命題を証明せよ．
(i)A=Eならば，A2+A+E≠Oである．
(ii)A2+A+E≠Oならば，A-Eは逆行列をもたない．
\mon[・・・

　国立 愛媛大学 2014年 第5問

E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})，O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})とし，tは実数とする．Aは，A3=Eを満たす2次の正方行列とする．
(1)(A-tE)(A2+tA+t2E)をtとEを用いて表せ．
(2)t≠1のときA-tEは逆行列をもつことを示せ．
(3)次の3つの命題を証明せよ．
(i)A=Eならば，A2+A+E≠Oである．
(ii)A2+A+E≠Oならば，A-Eは逆行列をもたない．
\mon[・・・

　私立 慶應義塾大学 2014年 第5問

次の設問に答えなさい．
(1)有理数の定義を書きなさい．
(2)次のそれぞれの命題の真偽を記入し，真の場合はそれを証明し，偽の場合はその理由を述べなさい．
(i)√5は無理数である．
(ii)r,sがともに有理数ならば，積rsは有理数である．
(iii)αが無理数で，rが0でない有理数ならば，積αrは無理数である．
\mon[\tokeishi]α,βがともに無理数ならば，積αβは無理数である．
\end・・・

　私立 慶應義塾大学 2014年 第6問

次の命題を証明せよ．ただし，(2)の証明には(1)を使ってよい．
(1)xは実数とする．x≧4のとき，3x2+3x+1＜x3が成り立つ．
(2)nは自然数とする．n≧10のとき，n3＜2nが成り立つ．

　私立 北星学園大学 2014年 第4問

以下の問に答えよ．
(1)(2x-1)7を展開したときの負の係数の中で，その値が最も小さい項の次数を述べよ．
(2)次の命題の否定を述べ，その真偽を調べよ．偽の場合には反例をあげよ．
「すべての実数x,yについて，x2+y2-2xy+2x-2y+1＞0である」

　私立 倉敷芸術科学大学 2014年 第4問

m,nを自然数とする．命題「m2+n2が奇数⇒積mnは偶数」について，次の問いに答えよ．
(1)この命題の対偶を書け．
(2)(1)の対偶を証明することにより，上の命題を証明せよ．

　私立 立教大学 2014年 第1問

次の空欄[ア]，[イ]に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄[ウ]～[サ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)実数a,bについて，命題「ab=0ならばb=0である」の逆は[ア]であり，裏は[イ]である．
(2)x=\frac{√5-1}{√5+1}のとき，x2+\frac{1}{x2}=[ウ]，x4+\frac{1}{x4}=[エ]と，いずれも整数で表せる．
(3)すべての実数xについて2次不等式x2-2(k+1)x+2k2＞0・・・