「回転体の体積」について

　国立 広島大学 2015年 第1問

座標平面上の点P(1,1)を中心とし，原点Oを通る円をC1とする．kを正の定数として，曲線y=k/x(x＞0)をC2とする．C1とC2は2点で交わるとし，その交点をQ，Rとするとき，直線PQはx軸に平行であるとする．点Qのx座標をqとし，点Rのx座標をrとする．次の問いに答えよ．
(1)k,q,rの値を求めよ．
(2)曲線C2と線分OQ，ORで囲まれた部分の面積Sを求めよ．
(3)x=1+√2sin\・・・

　国立 金沢大学 2015年 第2問

関数f(x)=xexについて，次の問いに答えよ．
(1)関数y=f(x)について，増減および凹凸を調べ，そのグラフをかけ．ただし，必要ならば\lim_{x→-∞}xex=0を用いてもよい．
(2)不定積分∫xexdx，∫x2e^{2x}dxをそれぞれ求めよ．
(3)0≦t≦1に対しg(x)=f(x)-f(t)とおく．0≦x≦1の範囲で，曲線y=g(x)とx軸ではさまれる部分を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をV(t)とする．V(t)を求めよ．
・・・

　国立 富山大学 2015年 第1問

曲線C1:y=tanx(0≦x＜π/2)と曲線C2:y=2sinx(0≦x＜π/2)を考える．曲線C1と曲線C2で囲まれた図形をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．

　国立 山梨大学 2015年 第2問

座標平面上において，曲線C:y=e^{2x}上の点P(a,e^{2a})における接線ℓは原点Oを通るとする．
(1)aの値を求めよ．
(2)不定積分∫logtdtおよび∫(logt)2dtを求めよ．
(3)曲線Cと直線ℓおよびy軸で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ．

　国立 茨城大学 2015年 第1問

f(x)=2xe^{-x}とおく．ただし，eは自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．
(1)0≦x≦3の範囲で，関数y=f(x)の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)正の実数aに対して，Ia=∫01xe^{-ax}dx，Ja=∫01x2e^{-ax}dxとおく．JaをIaとaを用いて表せ．
(3)定積分∫01f(x)dxおよび∫01{f(x)}2dxを求めよ．
(4)曲線y=f(x)と，3直線x=0，・・・

　国立 三重大学 2015年 第3問

関数f(x)=e^{√x-1}-√x(x≧0)を考える．以下の問いに答えよ．
(1)f(x)≧0を示せ．また等号が成立するようなxの値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)とx軸およびy軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

　国立 岐阜大学 2015年 第4問

関数f(x)=e^{-x}を考える．曲線y=f(x)をCとする．t＞0として，曲線C上の点(t,f(t))における接線とx軸，y軸との交点をそれぞれP，Qとする．以下の問に答えよ．
(1)P，Qの座標を求めよ．
(2)原点をOとするとき，△OPQの面積をSとする．tが変化するとき，Sの最大値を求めよ．また，そのときの2点P，Qを通る直線ℓの方程式を求めよ．
(3)Cと(2)で求めたℓおよびy軸で囲まれた図形をy軸のまわりに1回・・・

　国立 京都工芸繊維大学 2015年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)0＜x＜2πの範囲において，方程式sin5x=sinxの解をすべて求めよ．
(2)(1)で求めた解のうちで最小のものをaとする．曲線y=sin5x-sinx(0≦x≦a)とx軸で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

　国立 九州大学 2014年 第1問

関数f(x)=x-sinx(0≦x≦π/2)を考える．曲線y=f(x)の接線で傾きが1/2となるものをℓとする．
(1)ℓの方程式と接点の座標(a,b)を求めよ．
(2)aは(1)で求めたものとする．曲線y=f(x)，直線x=a，およびx軸で囲まれた領域を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ．

　国立 神戸大学 2014年 第5問

a,bを正の実数とし，xy平面上に3点O(0,0)，A(a,0)，B(a,b)をとる．三角形OABを，原点Oを中心に90°回転するとき，三角形OABが通過してできる図形をDとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)Dをxy平面上に図示せよ．
(2)Dをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ．
(3)a+b=1のとき，(2)で求めたVの最小値と，そのときのaの値を求めよ．