「回転」について

　国立 横浜国立大学 2012年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分
∫x2cos(alogx)dx
を求めよ．ただし，aは0でない定数とする．
(2)曲線y=xcos(logx)とx軸，および2直線x=1,x=e^{π/4}で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

　国立 横浜国立大学 2012年 第3問

xy平面上に曲線C:y=1/2x2がある．C上の点P(t,1/2t2)(t≠1)における接線を，Pを中心として反時計回りに45°回転して得られる直線をℓとする．次の問いに答えよ．
(1)ℓの方程式を求めよ．
(2)Cとℓで囲まれる部分の面積S(t)を求めよ．
(3)S(t)を最小にするtの値を求めよ．

　国立 広島大学 2012年 第5問

nは自然数とし，点Pは次の規則にしたがって座標平面上を動くとする．\\
規則:\\
(A)Pは，はじめに点(1,2)にある．\\
(B)さいころを投げて2以下の目が出ればPは原点を中心に反時計回りに120°回転し，3以上の目が出れば時計回りに60°回転する．\\
(C)(B)をn回繰り返す．\\
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．
(1)n=3のとき，出た目が4,1,2であったとする．このときPが最後に移った点の座標を求めよ．
(2)n=3のとき，Pが・・・

　国立 筑波大学 2012年 第3問

曲線C:y=logx(x＞0)を考える．自然数nに対して，曲線C上に点P(en,n)，Q(e^{2n},2n)をとり，x軸上に点A(en,0)，B(e^{2n},0)をとる．四角形APQBをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をV(n)とする．また，線分PQと曲線Cで囲まれる部分をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をS(n)とする．
(1)V(n)をnの式で表せ．
(2)\lim_{n→∞}\frac{S(n)}{V(n)}を求めよ．

　国立 筑波大学 2012年 第5問

以下の問いに答えよ．
(1)座標平面において原点のまわりに角θ(0＜θ＜π)だけ回転する移動を表す行列をAとする．Aが等式A2-A+E=Oを満たすとき，θとAを求めよ．ただし，E=(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}),O=(\begin{array}{cc}
0&0\\
0&0
\end{array})である．
(2)直線y=√3xに関する対称移動を表す行列Bを求めよ．
(3)直線y=kxに関する対称移動を表す行列Cとする．(1)，(2)において求めた行列A,Bに対してBC=Aが・・・

　国立 千葉大学 2012年 第7問

横2a，縦2bの長方形を長方形の中心のまわりに角θだけ回転させる．回転後の長方形ともとの長方形とが重なり合う部分の面積S(θ)を求めよ．ただし，長方形の中心とはその2つの対角線の交点とし，長方形はそれを含む平面内で回転するものとする．また，回転角θは0以上，長方形のいずれかの頂点が隣の頂点に達するまでの角度以下に取るものとする．

　国立 熊本大学 2012年 第2問

実数cに対して，行列
A=\biggl(\begin{array}{cc}
1&-c\\
c&1
\end{array}\biggr)
で表される1次変換をTとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)Tは原点の回りの回転移動と原点中心の拡大(相似変換)との合成変換であることを示せ．
(2)xy平面上の同一直線上にない3点P，Q，RがTによってそれぞれP´，Q´，R´に移るとする．三角形P´Q´R´の面積が三角形PQRの面積の2倍となるcの値を求めよ．
(3)c=2とする．楕円
E:\frac{x2}{4}+y2=1
上・・・

　国立 東京医科歯科大学 2012年 第2問

a2+b2=1を満たす正の実数a,bの組(a,b)の全体をSとする．Sに含まれる(a,b)に対し，xyz空間内に3点P(a,b,b)，Q(-a,b,b)，R(0,0,b)をとる．また原点をOとする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)三角形OPQをx軸のまわりに1回転してできる立体をF1とする．(a,b)がSの中を動くとき，F1の体積の最大値を求めよ．
(2)三角形PQRをx軸のまわりに1回転してできる立体をF2とする．a=b=\frac{1}{√2}のとき，F2のxy平面による切り口の周をx・・・

　国立 千葉大学 2012年 第11問

xy平面において，長さ1の線分ABを点Aが原点，点Bが点(1,0)に重なるように置く．点Aをy軸に沿って点(0,1)まで移動させ，線分ABの長さを1に保ったまま点Bをx軸に沿って原点まで移動させる．このとき線分ABが通る領域をDとする．0≦x≦1となる実数xに対して，点(x,y)が領域Dに含まれるようなyの最大値をf(x)とする．
(1)f(x)をxの式で表せ．
(2)領域Dをx軸を中心に回転させた立体の体積Vを求めよ．
\end{en・・・

　国立 九州工業大学 2012年 第4問

a,bを実数とし，関数f(x)，g(x)をf(x)=a(ex+e^{-x})，g(x)=4x+bとする．曲線C:y=f(x)の点(log3,f(log3))における接線が直線ℓ:y=g(x)と一致するとき，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，eは自然対数の底とする．また，log3＜1.1を用いてよい．
(1)a,bの値を求めよ．
(2)曲線Cと直線ℓおよび直線x=-log3で囲まれた図形の面積Sを求めよ．
(3)曲線Cと直線ℓおよび直線x=-log3で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ・・・