「回転」について

　国立 鳥取大学 2015年 第4問

-π/2≦x≦π/2において，2曲線y=cosx，y=sin2xで囲まれた図形をx軸の周りに1回転してできる立体の体積Vを求めたい．次の問いに答えよ．
(1)2曲線y=cosx，y=sin2xの交点のx座標をすべて求めよ．ただし，-π/2≦x≦π/2とする．
(2)体積Vを求めよ．

　国立 九州工業大学 2015年 第4問

関数f(x)=\frac{\sqrt{x2-1}}{x}(x≧1)と曲線C:y=f(x)について，次に答えよ．
(1)区間x＞1で，f(x)は増加し，曲線Cは上に凸であることを示せ．
(2)曲線Cの点(√2,f(√2))における接線ℓの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた直線ℓと曲線Cおよびx軸で囲まれた図形をDとする．Dをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．
(4)(3)で定めた図形Dの面積Sを求めよ．

　国立 福岡教育大学 2015年 第4問

次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．
(1)関数f(x)=x-logxの最小値を求めよ．
(2)aを1より大きい定数とし，曲線y=asinx(0≦x≦π/2)と曲線y=tanx(0≦x＜π/2)によって囲まれる部分Dの面積が1-log2であるとする．次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）]aの値を求めよ．
\mon[（イ）]Dをx軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．
\end・・・

　国立 福岡教育大学 2015年 第4問

aを正の定数とし，曲線y=acosx(0≦x≦π/2)と曲線y=sinx(0≦x≦π/2)とy軸によって囲まれる部分の面積が√3-1であるとする．次の問いに答えよ．
(1)aの値を求めよ．
(2)曲線y=acosx(0≦x≦π/2)と曲線y=tanx(0≦x＜π/2)の交点を求めよ．
(3)曲線y=acosx・・・

　国立 富山大学 2015年 第1問

曲線C1:y=tanx(0≦x＜π/2)と曲線C2:y=2sinx(0≦x＜π/2)を考える．曲線C1と曲線C2で囲まれた図形をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．

　国立 長岡技術科学大学 2015年 第4問

放物線y=x2-2x+1と直線y=4とで囲まれた図形をDとするとき，下の問いに答えなさい．
(1)Dの面積Sを求めなさい．
(2)Dをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めなさい．

　国立 群馬大学 2015年 第5問

すべての実数xにおいて，関数f(x)は微分可能で，その導関数f´(x)は連続とする．f(x)，f´(x)が等式
∫0x\sqrt{1+(f´(t))2}dt=-e^{-x}+f(x)
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(x)を求めよ．
(2)曲線y=f(x)と直線x=1，およびx軸，y軸で囲まれた部分を，y軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 山梨大学 2015年 第2問

座標平面上において，曲線C:y=e^{2x}上の点P(a,e^{2a})における接線ℓは原点Oを通るとする．
(1)aの値を求めよ．
(2)不定積分∫logtdtおよび∫(logt)2dtを求めよ．
(3)曲線Cと直線ℓおよびy軸で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ．

　国立 茨城大学 2015年 第1問

f(x)=2xe^{-x}とおく．ただし，eは自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．
(1)0≦x≦3の範囲で，関数y=f(x)の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)正の実数aに対して，Ia=∫01xe^{-ax}dx，Ja=∫01x2e^{-ax}dxとおく．JaをIaとaを用いて表せ．
(3)定積分∫01f(x)dxおよび∫01{f(x)}2dxを求めよ．
(4)曲線y=f(x)と，3直線x=0，・・・

　国立 滋賀医科大学 2015年 第1問

aを定数とする．x＞0における関数
f(x)=logx+ax2-3x
について，曲線y=f(x)はx=\frac{1}{√2}で変曲点をもつとする．
(1)aを求めよ．
(2)kを定数とするとき，方程式f(x)=kの異なる実数解の個数を求めよ．
(3)曲線y=f(x)とx軸，および2直線x=1，x=2で囲まれた部分を，x軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．