「垂線」について

　私立 中央大学 2012年 第3問

h＞0,d≧0とし，座標空間において4点A(0,0,1)，B(0,0,-1)，C(h,0,-d)，D(0,h,d)を頂点とする四面体を考える．さらにCD=2とする．したがって，四面体の6本の辺のうち向かい合う2辺の長さは3組とも互いに等しい．つまり
AB=CD,AC=BD,AD=BC
となっており，4つの面はすべて互いに合同である．この四面体ABCDについて以下の問いに答えよ．
(1)hをdで表し，dのとりうる値の範囲・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第2問

曲線y=x2上の点P(t,t2)から直線y=xへ垂線を引き，その交点をHとする．ただし，t＞1とする．
(1)点Hの座標をtを用いて表しなさい．
(2)範囲x≧1において，曲線y=x2と直線y=xおよび線分PHとで囲まれた図形の面積をS1とする．このとき，S1をtを用いて表しなさい．
(3)曲線y=x2と直線y=xで囲まれた図形の面積をS2とする．S1=S2であるとき，tの値を求めなさい．ただし，S1は(2)と同じとする．

　私立 北星学園大学 2012年 第3問

∠A=90°，∠B=30°，AC=2の△ABCがある．AからBCへおろした垂線の足をHとし，AHを直径とする円の円周と辺ABとの交点をDとする．以下の問に答えよ．
(1)円の直径を求めよ．
(2)ADの長さを求めよ．

　私立 岡山理科大学 2012年 第3問

原点Oを中心とする半径2の円に，点P(4,0)から引いた2つの接線の接点のうち，第1象限にある点をA，残りの点をBとする．直線ABがx軸と交わる点をCとする．Cから直線APに引いた垂線とAPの交点をDとする．このとき，次の設問に答えよ．
(1)線分APの長さを求めよ．
(2)線分CDの長さを求めよ．
(3)3点P，C，Dを通る円の方程式を求めよ．

　私立 北海道薬科大学 2012年 第2問

次の各設問に答えよ．
(1)空間内に点A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,4)がある．3点A，B，Cが定める平面上に原点Oから垂線を下ろし，この平面との交点をPとする．
ベクトルOP=aベクトルOA+bベクトルOB+cベクトルOC(a,b,c　は実数　)
とするとa+b+c=[ア]となる．また
ベクトルOP・ベクトルAB=[イウ]a+[エ]b=[オ]
ベクトルOP・ベクトルAC=\kak・・・

　私立 北海学園大学 2012年 第3問

AB=k，CA=5/3k，cosA=1/3である三角形ABCにおいて，頂点Aから直線BCに下ろした垂線と直線BCとの交点をHとする．ただし，kは定数で，k＞0とする．
(1)辺BCの長さをkを用いて表せ．
(2)線分BHの長さをkを用いて表せ．
(3)線分AH上に∠BDC=90°となる点Dをとるとき，線分BDの長さをkを用いて表せ．また，cos∠BDAの値を求め・・・

　私立 昭和薬科大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)log_{10}3=a，log_{10}5=bのとき，log_{3/2}48をa,bで表すと\frac{a-[]b+[]}{a+[]b-[]}である．
(2)関数y=12sinθ+5cosθ(0≦θ≦π/2)について，yの取り得る値の範囲は[]≦y≦[]である．
(3)ある2次関数のグラフをx軸方向に4，y軸方向に-6平行移動すると，y=-x2+6x+6と一致する．もとの2次関数はy=-x2-\kak・・・

　私立 関西学院大学 2012年 第3問

座標空間の原点をOとし，3点A(1,0,1)，B(2,-1,0)，C(1,1,2)を通る平面をαとするとき，次の問いに答えよ．
(1)yz平面上の点P(0,a,b)がベクトルAP=tベクトルABを満たすとき，tの値およびa,bの値を求めよ．
(2)平面α上に点Q(2,0,c)がある．ベクトルAQ=sベクトルAB+tベクトルACを満たすs,tの値およびcの値を求めよ．
(3)原点Oから平面αに垂線OHを下ろすとき，点Hの座標を求めよ．ま・・・

　私立 大阪学院大学 2012年 第2問

Oを原点とし，y＞0であるような点A(x,y)からx軸に下ろした垂線の足をB(x,0)とする．いま，点Aを，OA+AB=c（cは正定数）という条件を満たすように選びたい．次の問いに答えなさい．
(1)点Aの座標(x,y)の満たすべき条件をy=f(x)の形の式で表しなさい．また，そのとき点Aのx座標のとりうる範囲も示しなさい．
(2)c=2とするとき，点Aの条件を満たす座標(x,y)のうち，-1≦x≦1の範囲でのx+yの最大値と最小値を求・・・

　私立 吉備国際大学 2012年 第2問

△ABCの重心をGとし，直線AGとBCの交点をMとする．またA，Gから直線BCに垂線をおろしその足をH，Kとする．
(1)AG:AMを求めよ．
(2)AH:GKを求めよ．
(3)△ABC:△GBCを求めよ．