「増減」について

　国立 茨城大学 2015年 第1問

f(x)=2xe^{-x}とおく．ただし，eは自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．
(1)0≦x≦3の範囲で，関数y=f(x)の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)正の実数aに対して，Ia=∫01xe^{-ax}dx，Ja=∫01x2e^{-ax}dxとおく．JaをIaとaを用いて表せ．
(3)定積分∫01f(x)dxおよび∫01{f(x)}2dxを求めよ．
(4)曲線y=f(x)と，3直線x=0，・・・

　国立 三重大学 2015年 第3問

関数f(x)={|x-2|}3-3x2+12xがある．以下の問いに答えよ．
(1)f(x)の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線y=f(x)と直線y=12の共有点のx座標を求めよ．
(3)曲線y=f(x)と直線y=12で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明]必要ならば，自然数nに対して
∫xndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(C　は積分定数　)
となることを用いてよい．

　国立 三重大学 2015年 第3問

関数f(x)={|x-2|}3-3x2+12xがある．以下の問いに答えよ．
(1)f(x)の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線y=f(x)と直線y=12の共有点のx座標を求めよ．
(3)曲線y=f(x)と直線y=12で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明]必要ならば，自然数nに対して
∫xndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(C　は積分定数　)
となることを用いてよい．

　国立 岐阜大学 2015年 第4問

関数f(x)=x3-3x2+xを考える．曲線y=f(x)をCとする．以下の問に答えよ．
(1)y=f(x)の増減を調べて極値を求めよ．またグラフを描け．
(2)aを実数とする．直線y=axとCの共有点が異なる2点のみであるときのaの値をすべて求めよ．また，求めたそれぞれのaの値に対して，共有点のx座標を求めよ．
(3)C上の点P(t,f(t))における接線をℓとする．ℓとCの共有点がPのみであるとき，tが満たす条件を求めよ．

　私立 愛知工業大学 2015年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)xy平面において，関数y=\frac{logx}{x2}(x＞0)の増減を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，\lim_{x→∞}\frac{logx}{x2}=0を用いてよい．
(2)aを定数とする．xy平面において，2つの曲線y=ax2とy=logxの共有点の個数を調べよ．

　私立 南山大学 2015年 第3問

関数f(x)=xe^{-x}を考える．
(1)0≦x≦4の範囲でf(x)の増減と凹凸を調べ，0≦x≦4の範囲でy=f(x)のグラフをかけ．
(2)tを正の数とし，y=f(x)のグラフとx軸，および直線x=tとx=2tで囲まれた図形の面積S(t)をtの式で表せ．
(3)(2)のS(t)が最大となるtの値を求めよ．また，S(t)の最大値を求めよ．

　国立 静岡大学 2014年 第4問

aを定数とする．2次関数f(x)は等式
f(x)=6(a+1)x2-12x∫01f(t)dt+5a-2
を満たすとする．このとき，2次関数f(x)と3次関数g(x)=-4x3+f(x)について，次の問いに答えよ．
(1)定積分∫01f(t)dtをaを用いて表せ．
(2)3次関数g(x)の増減を調べ，極値があればその極値を求めよ．
(3)3次方程式g(x)=0が異なる3つの実数解をもつとき，定数aの値の範囲を求めよ．

　国立 東京医科歯科大学 2014年 第3問

aを正の実数，kを自然数とし，x＞0で定義される関数
f(x)=∫a^{ax}\frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku}du
を考える．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)f(x)の増減および凹凸を調べ，y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(2)y=f(x)のx=1における接線の方程式を求めよ．
(3)Sを正の実数とするとき，f(p)=Sを満たす実数pがただ1つ存在することを示せ．
(4)b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}とおくとき，(2)のS,pについて，次の不等式が成立することを示せ．
1+bS＜p＜e^{bS}
\e・・・

　国立 旭川医科大学 2014年 第1問

関数f(x)=log(1+x2)について，次の問いに答えよ．
(1)∫01log(1+x2)dxを求めよ．
(2)導関数f´(x)の増減を調べ，y=f´(x)のグラフの概形をかけ．
(3)曲線C:y=f(x)と曲線Cの互いに直交している2本の接線とで囲まれる図形の面積Sを求めよ．

　国立 三重大学 2014年 第4問

関数f(x)=sin(3/2x)+3/4xとg(x)=3/4xについて，以下の問いに答えよ．ただし，0≦x≦πとする．
(1)y=f(x)の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)y=f(x)とy=g(x)のグラフの共有点を求めよ．
(3)y=f(x)とy=g(x)のグラフで囲まれた図形の面積を求めよ．