「増減」について
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（8ページ目：全133問中71問～80問を表示）xの関数f(x)=8x+8^{-x}-9(4x+4^{-x})+27(2x+2^{-x})-26について，次の各問いに答えよ．
(1)t=2x+2^{-x}とおく．f(x)をtの関数として表したものをg(t)とするとき，g(t)を求めよ．
(2)t=2x+2^{-x}のとる値の範囲を求めよ．
(3)tが(2)で求めた範囲を動くとき，関数y=g(t)の増減を調べよ．
(4)x≧0のとき，関数f(x)の最小値とその最小値を与えるxの値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2012年 第2問xの関数f(x)=8x+8^{-x}-9(4x+4^{-x})+27(2x+2^{-x})-26について，次の各問いに答えよ．
(1)t=2x+2^{-x}とおく．f(x)をtの関数として表したものをg(t)とするとき，g(t)を求めよ．
(2)t=2x+2^{-x}のとる値の範囲を求めよ．
(3)tが(2)で求めた範囲を動くとき，関数y=g(t)の増減を調べよ．
(4)x≧0のとき，関数f(x)の最小値とその最小値を与えるxの値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2012年 第3問xの関数f(x)=8x+8^{-x}-9(4x+4^{-x})+27(2x+2^{-x})-26について，次の各問いに答えよ．
(1)t=2x+2^{-x}とおく．f(x)をtの関数として表したものをg(t)とするとき，g(t)を求めよ．
(2)t=2x+2^{-x}のとる値の範囲を求めよ．
(3)tが(2)で求めた範囲を動くとき，関数y=g(t)の増減を調べよ．
(4)x≧0のとき，関数f(x)の最小値とその最小値を与えるxの値を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第4問以下の問いに答えよ．
(1)関数y=x-e^{-x}の増減を調べよ．
(2)実数αでα-e^{-α}=0を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，このαは，0＜α＜1を満たすことを示せ．
(3)(2)のαと正の整数nに対して，
In=∫0^α(xe^{-nx}+αx^{n-1})dx
とおく．Inをαの多項式として表せ．また，\lim_{n→∞}n2Inを求めよ．
国立 三重大学 2012年 第4問以下の問いに答えよ．
(1)関数y=|x|-e^{-x}の増減を調べよ．
(2)実数αで|α|-e^{-α}=0を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，このαは，0＜α＜1を満たすことを示せ．
(3)(2)のαと正の整数nに対して，
In=∫0^α(xe^{-nx}+αx^{n-1})dx
とおく．Inをαの多項式として表せ．また，\lim_{n→∞}n2Inを求めよ．
国立 宇都宮大学 2012年 第4問関数f(x)=x3-3x2+2について，次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)の増減を調べ，極値を求めよ．また，グラフの概形をかけ．
(2)-a/2≦x≦aにおけるf(x)の最大値Mを求めよ．ただし，aは定数でa＞0とする．
(3)-a/2≦x≦aにおけるf(x)の最小値mを求めよ．ただし，aは定数でa＞0とする．
国立 茨城大学 2012年 第3問aを実数の定数として，f(x)=x(x-a)2とおく．以下の各問に答えよ．
(1)関数y=f(x)の増減と極値を調べ，そのグラフをかけ．
(2)a≠0とする．曲線y=f(x)とx軸で囲まれた図形の面積S(a)を求めよ．さらに，S(a)=1/3となるaの値をすべて求めよ．
国立 鳥取大学 2012年 第4問3以上の自然数nに対して
Sn=Σ_{k=3}n\frac{logk}{k}(n=3,4,5,・・・)
とおいて数列{Sn}を定める．次の問いに答えよ．
(1)関数y=\frac{logx}{x}(x＞0)の増減と極値を調べよ．
(2)4以上の自然数nに対して不等式
Sn-\frac{log3}{3}≦∫3n\frac{logx}{x}dx≦S_{n-1}
が成り立つことを示せ．
(3)\lim_{n→∞}\frac{Sn}{(logn)2}を求めよ．
国立 長崎大学 2012年 第5問関数f(x)=xe^{-x2}について，次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)の増減，極値，グラフの凹凸，および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．ただし，\lim_{x→∞}xe^{-x2}=0,\lim_{x→-∞}xe^{-x2}=0を用いてよい．
(2)y=f(x)の最大値と最小値，およびそのときのxの値を求めよ．
(3)t＞0とする．曲線y=f(x)，x軸，および直線x=tで囲まれた部分の面積S(t)を求めよ．
(4)(3)で求めたS(t)について，\lim_{t→∞}S(t)を求めよ．
国立 宮城教育大学 2012年 第4問関数f(x)=2sinx-xcosx(0≦x≦π)について，次の問いに答えよ．
(1)f(x)の導関数をf´(x)とするとき，π/2≦a≦πおよびf´(a)=0を満たすaがただ1つ存在することを示せ．
(2)(1)のaを用いて，関数y=f(x)の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)(1)のaについて，0＜t＜aとするとき，
S(t)=∫0a|f(x)-f(t)|dx
が最小となるようなtの値をaを用いて表せ．