「変曲点」について

　国立 神戸大学 2015年 第3問

aを正の実数とする．座標平面上の曲線Cを
y=x4-2(a+1)x3+3ax2
で定める．曲線Cが2つの変曲点P，Qをもち，それらのx座標の差が√2であるとする．以下の問に答えよ．
(1)aの値を求めよ．
(2)線分PQの中点とx座標が一致するような，C上の点をRとする．三角形PQRの面積を求めよ．
(3)曲線C上の点Pにおける接線がP以外でCと交わる点をP´とし，点Qにおける接線がQ以外でCと交わる点をQ・・・

　国立 旭川医科大学 2015年 第2問

nを正の整数とする．2nπ≦x≦(2n+1)πの範囲で関数f(x)=xsinxを考える．関数f(x)が極大値をとるxをanとし，曲線y=f(x)の変曲点を(bn,f(bn))とする．次の問いに答えよ．
(1)anとbnはそれぞれ唯1つあって，2nπ＜bn＜2nπ+π/2＜an＜(2n+1)πを満たすことを示せ．
(2)以下の極限を求めよ．
(1)\lim_{n→∞}(an-2nπ)\qquad(2)\lim_{n→∞}(bn-2nπ)\qquad(3)\lim_{n→∞}f(bn)
(3)曲線y=f・・・

　国立 山梨大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫xcosxdxを求めよ．
(2)不等式\frac{5x-6}{x-2}＞x+1を解け．
(3)関数f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}の増減，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べて，そのグラフをかけ．

　国立 茨城大学 2015年 第1問

f(x)=2xe^{-x}とおく．ただし，eは自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．
(1)0≦x≦3の範囲で，関数y=f(x)の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)正の実数aに対して，Ia=∫01xe^{-ax}dx，Ja=∫01x2e^{-ax}dxとおく．JaをIaとaを用いて表せ．
(3)定積分∫01f(x)dxおよび∫01{f(x)}2dxを求めよ．
(4)曲線y=f(x)と，3直線x=0，・・・

　国立 滋賀医科大学 2015年 第1問

aを定数とする．x＞0における関数
f(x)=logx+ax2-3x
について，曲線y=f(x)はx=\frac{1}{√2}で変曲点をもつとする．
(1)aを求めよ．
(2)kを定数とするとき，方程式f(x)=kの異なる実数解の個数を求めよ．
(3)曲線y=f(x)とx軸，および2直線x=1，x=2で囲まれた部分を，x軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　私立 慶應義塾大学 2015年 第3問

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
p,qを正の実数として，曲線Cをx^{1/p}+y^{1/q}=1(0≦x≦1,0≦y≦1)により定義する．
(1)曲線Cの方程式をyについて解いて得られる関数をy=f(x)(0≦x≦1)とおく．y=f(x)のグラフが0＜x＜1において変曲点をもつためにはp,qが条件[あ]を満たすことが必要十分である．
(2)曲線Cとx軸，y軸で囲まれた図形の面積をS(p,q)・・・

　私立 東北学院大学 2015年 第4問

関数f(x)=x+x\sqrt{1-x2}について以下の問いに答えよ．
(1)f´(x)を求めよ．
(2)y=f(x)のグラフの概形を描け．ただし変曲点は求めなくてよい．
(3)y=f(x)のグラフと直線y=xで囲まれた部分の面積を求めよ．

　私立 学習院大学 2015年 第3問

関数
f(x)=\frac{logx}{x}(x＞0)
を考える．
(1)xが正の実数全体を動くとき，f(x)の最大値と，最大値を与えるxの値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)の変曲点の座標を求めよ．
(3)不等式
∫1nf(x)dx＞2
を満たす最小の自然数nを求めよ．ただし，自然対数の底eは2.7＜e＜2.8を満たすことを用いてよい．

　公立 富山県立大学 2015年 第4問

関数f(x)=\frac{1}{1+x2}について，次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)の極値および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)α,βは定数で，-π/2＜α＜β＜π/2とする．このとき，定積分∫_{tanα}^{tanβ}f(x)dxをα,βを用いて表せ．
(3)∫_{π/3}^{π/2}\frac{sint}{3+4cos2t}dtを求めよ．

　国立 金沢大学 2014年 第2問

関数y=\frac{1}{ex+e^{-x}}のグラフCについて，次の問いに答えよ．
(1)Cの変曲点のうち，x座標が最大となる点Pのx座標を求めよ．
(2)(1)で求めたPのx座標をbとするとき，
tanθ=eb
をみたすθ(0＜θ＜π/2)に対し，tan2θおよびθの値を求めよ．
(3)上のbに対する直線x=bとx軸，y軸およびCで囲まれた図形の面積を求めよ．