「多項式」について

　国立 秋田大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)2次方程式x2-2ax+2a+3=0が異なる2つの実数解をもち，その2つの実数解がともに1以上5以下であるように，定数aの値の範囲を定めよ．
(2)多項式4x4+7x2+16を因数分解せよ．

　国立 愛媛大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)θが方程式cos2θ-2sinθ=1/2を満たすとき，sinθの値を求めよ．
(2)不等式log_{1/2}(2-x)＜log_{1/4}(2-x)を解け．
(3)xの多項式x4-px+qが(x-1)2で割り切れるとき，定数p,qの値を求めよ．
(4)空間内に5点A，B，C，D，Eがあり，次の等式を満たしている．
ベクトルEA+ベクトルEB+ベクトルEC+ベクトルED=ベクトル0,ベクトルBC=ベクトルAB+ベクトルCD
\vect・・・

　国立 電気通信大学 2013年 第3問

以下の問いに答えよ．
(1)自然数nに対して，
(cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)
が成り立つことをnに関する数学的帰納法により証明せよ．ただし，iは虚数単位とする．
(2)cos(nθ)=0をみたすようなθをすべて求めよ．
(3)t=cosθとする．(1)の等式を使って，cos5θ=f(t)をみたす多項式f(t)を求めよ．
(4)f(t)=0のすべての解をcosα(0≦α≦π)の形で表せ．また，それらを大きい順に並べよ．
(5)\displ・・・

　国立 京都教育大学 2013年 第5問

百の位がa，十の位がb，一の位がcである1以上999以下の整数がある．ただし，この整数が99以下のときは百の位が0であるとみなし，さらに9以下のときは十の位も0であるとみなす．この整数が各位の数の和の3乗に等しいとき次の問に答えよ．
(1)(a+b+c)3-(a+b+c)は9の倍数であることを証明せよ．
(2)多項式(x+y+z)3-(x+y+z)を因数分解せよ．
(3)このような整数をすべて求めよ．

　国立 愛媛大学 2013年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)iを虚数単位とする．等式(1+i)^{14}=a+biを満たす実数a,bの値を求めよ．
(2)xの多項式x4-px+qが(x-1)2で割り切れるとき，定数p,qの値を求めよ．
(3)θが方程式cos2θ-2sinθ=47/50を満たすとき，sinθの値を求めよ．
(4)次の極限値を求めよ．
\lim_{x→0}\frac{(\sqrt{x2+x+4}-\sqrt{x2+4})sin2x}{x2}
(5)空間内に5点A，B，C，D，Eがあり，次の等式を満・・・

　私立 名城大学 2013年 第1問

次の[]に適切な答えを入れよ．
(1)f(x)はxのn次の多項式で，f´(x)f^{\prime\prime}(x)=f(x)およびf^{\prime\prime}(0)=1/2を満たすとする．このときn=[ア]であり，f(0)=[イ]である．
(2)さいころを3回投げ，出た目の最大値をXとする．このとき，X=3となる確率は[ウ]であり，Xの平均は[エ]である．

　私立 京都産業大学 2013年 第1問

以下の[]にあてはまる式または数値を入れよ．
(1)多項式2x3-3x2+2x-8を2x2-1で割った余りは[]である．
(2)不等式\sqrt{2x-1}＜1/2(x+1)を満たすxの値の範囲は[]である．
(3)a1=1,\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{an}+1(n=1,2,3,・・・)で定義される数列{an}の一般項は[]である．
(4)不等式(1/2)^{2x}＞1/2(1/16)^{x}を満たすxの値の範囲は\・・・

　私立 広島修道大学 2013年 第1問

空欄[1]から[11]にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)方程式2x2+3x-4=0の解は[1]である．
(2)a,bを定数とし，a＞0とする．1次関数y=ax+b(-1≦x≦5)の値域が-2≦y≦2であるとき，a,bの値はa=[2]，b=[3]である．
(3)放物線y=x2+x+2と直線y=ax-aが共有点をもたないような定数aの値の範囲は[4]である．
(4)多項式P(x)=x3+ax2+2x+5aをx-3で割った余りが5であるとき，定数aの値は\kakko{・・・

　私立 成城大学 2013年 第1問

xの多項式f(x)について，tについての恒等式
f(t)+f(t2+t)=tf(t)+3t-2
が成り立つとする．
(1)f(x)は何次式か．
(2)f(x)を求めよ．

　私立 早稲田大学 2013年 第1問

次の問に答えよ．
(1)2つのサイコロを同時にふるとき，出た目の和がnである確率をPnとする．自然数n(2≦n≦12)に対して
Pn=\frac{[ア]-|n-[イ|]}{[ウ]}
である．
(2)整数p,qに対して，多項式
f(x)=2x4+(p+2q)x3+(pq+4)x2+(2p+2)x+p
を考える．f(0)，f(1)，f(2)がすべて素数のとき，p=[エ]，q=[オ]である．