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実数p,q,rに対して，3次多項式f(x)をf(x)=x3+px2+qx+rと定める．実数a,c,および0でない実数bに対して，a+biとcはいずれも方程式f(x)=0の解であるとする．ただし，iは虚数単位を表す．
(1)y=f(x)のグラフにおいて，点(a,f(a))における接線の傾きをs(a)とし，点(c,f(c))における接線の傾きをs(c)とする．a≠cのとき，s(a)とs(c)の大小を比較せよ．
(2)さらに，a,cは整数であり，bは0でない整数であるとする．次を証明せよ．
(3)p,q,r・・・
国立 北海道大学 2010年 第4問0≦x≦1に対して
f(x)=∫01e^{-|t-x|}t(1-t)dt
と定める．ただし，e=2.718・・・は自然対数の底である．
(1)不定積分I1=∫tetdt,I2=∫t2etdtを求めよ．
(2)f(x)をxの指数関数と多項式を用いて表せ．
(3)f(x)はx=1/2で極大となることを示せ．
国立 広島大学 2010年 第3問p,aを実数の定数とする．多項式P(x)=x3-(2p+a)x2+(2ap+1)x-aをx-3で割った余りが10-6pであり，3次方程式P(x)=0の実数解はaのみとする．次の問いに答えよ．
(1)実数の範囲でP(x)を因数分解せよ．
(2)aの値を求めよ．
(3)関数y=P(x)が極値をもたないときのpの値を求めよ．
国立 広島大学 2010年 第2問p,aを実数の定数とする．多項式P(x)=x3-(2p+a)x2+(2ap+1)x-aをx-3で割った余りが10-6pであり，3次方程式P(x)=0の実数解はaのみとする．次の問いに答えよ．
(1)実数の範囲でP(x)を因数分解せよ．
(2)aの値を求めよ．
(3)関数y=P(x)が極値をもたないときのpの値を求めよ．
国立 九州大学 2010年 第4問以下の問いに答えよ．答えだけでなく，必ず証明も記せ．
(1)和1+2+・・・+nをnの多項式で表せ．
(2)和12+22+・・・+n2をnの多項式で表せ．
(3)和13+23+・・・+n3をnの多項式で表せ．
国立 大分大学 2010年 第3問微分可能な関数y=f(x)が次の方程式を満たすとする．
anf^{(n)}(x)+a_{n-1}f^{(n-1)}(x)+・・・+a1f^{(1)}(x)+a0f(x)=0( A )
ここにnは自然数，ai(i=0,1,2,・・・,n)は実数の定数で，an≠0である．また，y^{(k)}=f^{(k)}(x)はf(x)のk次導関数でy^{(0)}=f^{(0)}(x)=f(x)とする．(A)のような方程式を第n階微分方程式といい，(A)に対してtのn次方程式
antn+a_{n-1}t^{n-1}+・・・+a1t+a0=0( B )
を(A)の特性方程式という．このとき次の問いに答えよ．
\begin・・・
私立 青森中央学院大学 2010年 第1問多項式x4-2x3+ax2+bx+68(a,b は実数 )がx2-x-2で割り切れるとき，(a+b)の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2010年 第1問多項式x4-2x3+ax2+bx+68（a,bは実数）がx2-x-2で割り切れるとき，(a+b)の値を求めよ．
私立 津田塾大学 2010年 第4問次の問いに答えよ．
(1)nを自然数とする．次数がnの多項式P(x)=a0+a1x+・・・+anxnについてa1=P´(0)であることを確かめよ．ただし，P´(0)はP(x)のx=0における微分係数である．
(2)自然数nに対して，fn(x)=(x+1)(x+2)・・・(x+n)で与えられるn次多項式fn(x)の1次の係数をcnとする．f_{n+1}(x)=(x+n+1)fn(x)を用いて，c_{n+1}=n!+(n+1)cnが成り立つことを示せ．また，それを用いて，cn=n!(1+1/2+1/3+・・・+1/n\・・・
公立 京都府立大学 2010年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)√5が無理数であることを証明せよ．
(2)αを2次方程式x2-4x-1=0の解とするとき，(α-a)(α-b)=1+cを満たす自然数の組(a,b,c)をすべて求めよ．
(3)座標平面上の点(s,t)でsとtのどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ．連立不等式
{
\begin{array}{l}
y≧3x2-12x-3\\
y≦0
\end{array}
.
の表す領域をDとする．k2-4k-1＜0を満たす整数kに対して，直線ℓ:x=k上にあり，かつ，Dに含まれる格子点の個数をNk・・・
