「存在」について

　私立 成城大学 2013年 第1問

座標平面において，x座標，y座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．いま，4つの格子点O(0,0)，A(a,b)，B(a,b+4)，C(0,b+4)を考える．ただし，aとbは互いに素な自然数とする．
(1)線分OA上には，点O，A以外の格子点は存在しないことを示せ．
(2)四角形OABCの4辺上に格子点はいくつあるか．
(3)四角形OABCの内部（辺，頂点は含まない）に格子点はいくつあるか．

　私立 早稲田大学 2013年 第1問

関数f(x)=x3+ax2+bxがx=αで極大値，x=βで極小値をとるとき，次の各問に答えよ．
(1)極大値と極小値がともに存在するための条件を，aとbを用いて表せ．
(2)α+βを，aとbを用いて表せ．
(3)f(α)+f(β)を，aとbを用いて表せ．
(4)f(α)+f(β)=0が成り立つための条件を，aとbを用いて表せ．

　公立 愛知県立大学 2013年 第2問

座標平面上で，原点Oを始点とし第1象限の点Aを通る半直線OAとx軸の正の向きとのなす角をθ(0＜θ＜π/2)とする．点Bはx軸上にあり，|ベクトルOB|=b，|ベクトルOA|=aとする．原点Oから直線ABに下ろした垂線と直線ABとの交点をPとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルAP=tベクトルABとおく．ベクトルOP=tベクトルOB+(1-t)ベクトルOAであることを示し，tをa,b,θで表・・・

　公立 広島市立大学 2013年 第2問

p,qを実数の定数とする．2次関数f(x)=x2+px+qについて，以下の問いに答えよ．
(1)f(a)=aを満たす実数aが存在するためのp,qについての必要十分条件を求めよ．
(2)f(a)=b,f(b)=aを満たす異なる実数a,bが存在することと，p,qが不等式(p-1)2-4(q+1)＞0を満たすことは同値であることを証明せよ．

　公立 首都大学東京 2013年 第2問

実数aに対し
I=∫01|xex-a|dx
とする．以下の問いに答えなさい．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)0＜a＜eのとき，tet=aを満たす実数t(0＜t＜1)がただ1つ存在することを示しなさい．
(2)0＜a＜eのとき，Iの値を(1)のtを用いて表しなさい．
(3)aがすべての実数を動くとき，Iの値を最小にするaとそのときのIの値を求めなさい．

　公立 大阪府立大学 2013年 第3問

2つの曲線C1:y=logxおよびC2:y=\sqrt{ax}を考える．ただし，aは正の定数である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)曲線C1上の点(t,logt)における接線ℓ1の方程式，および曲線C2上の点(s,\sqrt{as})における接線ℓ2の方程式を求めよ．ただし，t＞0,s＞0である．
(2)曲線C1と曲線C2の両方に接する直線が存在しないためのaの値の範囲を求めよ．

　公立 大阪府立大学 2013年 第4問

以下の問いに答えよ．
(1)a,cを実数の定数とする．a＞0のとき，方程式2x3-3ax2=cの相異なる実数解の個数を求めよ．
(2)3次関数y=x3-3xのグラフをGとする．x座標が正である座標平面上の点P(a,b)を通るGの接線が3本存在するための，a,bの条件を求めよ．

　公立 高崎経済大学 2013年 第3問

以下の各問いに答えよ．
(1)xの2次不等式x2-(a+2)x+2a＜0の解が1＜x＜2となるような定数aの値を求めよ．
(2)xの2次不等式x2-(a+2)x+2a＜0と3x2+2x-1＞0を同時に満たす整数xがただ1つ存在するように，定数aの範囲を求めよ．

　公立 鳥取環境大学 2013年 第1問

不等式に関する以下の問に答えよ．
(1)座標平面上で，不等式x2+6x+y2+2y+6≦0とy≧-2x-3の両方を満たす点(x,y)の存在する領域を図示せよ．
(2)点(x,y)が(1)の領域を動くとき，xとyは不等式x2+y2≦4を満たすことを証明せよ．

　国立 岡山大学 2012年 第1問

aを正の実数とし，x,yに関する次の不等式を考える．
\begin{array}{ll}
3y≧5x&・・・・・・①\\
4y≧7a&・・・・・・②\\
x-y≧3-a&・・・・・・③
\end{array}
(1)①,②を同時に満たす点(x,y)のなす領域をxy平面上に図示せよ．
(2)①,②,③を同時に満たす実数の組(x,y)が存在するようなaの範囲を求めよ．