「存在」について

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第2問

ℓ1,ℓ2,ℓ3を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．ℓ1とℓ2及びℓ1とℓ3がOにおいてなす角はπ/3であるとし，ℓ2とℓ3がOにおいてなす角をθ(0＜θ≦\frac{2π}{3})とする．Oとは異なるℓ1,ℓ2,ℓ3上の3点P1，P2，P3を頂点とする正三角形が存在するようなcosθの範囲を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第3問

ℓ1,ℓ2,ℓ3を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．ℓ1とℓ2及びℓ1とℓ3がOにおいてなす角はπ/3であるとし，ℓ2とℓ3がOにおいてなす角をθ(0＜θ≦\frac{2π}{3})とする．x,yを正数とし，ℓ1,ℓ2,ℓ3上に点P1，P2，P3をそれぞれ，　OP　1=1,　OP　2=x,　OP　3=yとなるようにとる．△P1P2P3が正三角形となるx,yが存在するような・・・

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第2問

ℓ1,ℓ2,ℓ3を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．ℓ1とℓ2及びℓ1とℓ3がOにおいてなす角はπ/3であるとし，ℓ2とℓ3がOにおいてなす角をθ(0＜θ≦\frac{2π}{3})とする．Oとは異なるℓ1,ℓ2,ℓ3上の3点P1，P2，P3を頂点とする正三角形が存在するようなcosθの範囲を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第4問

以下では，実数を成分にもつ行列を考える．
(1)A=(\begin{array}{cc}
a&b\\
0&d
\end{array})とする．
(i)a＞0,d≧0またはa≧0,d＞0のとき，X2=Aを満たす行列Xを1つ求めよ．
(ii)a＜0またはd＜0のとき，X2=Aを満たす行列Xが存在するための必要十分条件をa,b,dを用いて表せ．また，この条件が成り立つとき，X2=Aを満たす行列Xを1つ求めよ．
(iii)a=d=0,b≠0のとき，X2=Aを満たす行列・・・

　国立 旭川医科大学 2012年 第1問

正の奇数pに対して，3つの自然数の組(x,y,z)で，x2+4yz=pを満たすもの全体の集合をSとおく．すなわち，
S={(x,y,z)\;\Big|\;x,y,z　は自然数，　x2+4yz=p}
次の問いに答えよ．
(1)Sが空集合でないための必要十分条件は，p=4k+1(k　は自然数　)と書けることであることを示せ．
(2)Sの要素の個数が奇数ならばSの要素(x,y,z)でy=zとなるものが存在することを示せ．

　国立 旭川医科大学 2012年 第4問

曲線C:y=logx上に異なる2点A(a,loga)，B(b,logb)をとり，CのAにおける接線とBにおける接線の交点について考える．次の問いに答えよ．
(1)任意に与えられたa＞1に対して，2本の接線の交点がちょうど直線x=1上にくるようなbが唯一つだけ存在し，b＜1であることを示せ．
(2)2点A(a,loga)，B(1/a,log1/a)(a＞1)について，2本の接線の交点のx座標が1より大きいか小さいかを調べよ．
\・・・

　国立 宮城教育大学 2012年 第4問

関数f(x)=2sinx-xcosx(0≦x≦π)について，次の問いに答えよ．
(1)f(x)の導関数をf´(x)とするとき，π/2≦a≦πおよびf´(a)=0を満たすaがただ1つ存在することを示せ．
(2)(1)のaを用いて，関数y=f(x)の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)(1)のaについて，0＜t＜aとするとき，
S(t)=∫0a|f(x)-f(t)|dx
が最小となるようなtの値をaを用いて表せ．

　国立 愛媛大学 2012年 第4問

実数aはa＞eを満たすとし，曲線y=logx上の点A(a,loga)における接線をℓとする．
(1)ℓとy軸との交点をBとし，ℓとx軸との交点をCとする．BとCの座標を求めよ．
(2)ℓとx軸，y軸で囲まれた部分の面積をS1(a)とし，曲線y=logxとx軸および直線x=aで囲まれた部分の面積をS2(a)とする．S1(a)とS2(a)を求めよ．
(3)T(a)=S2(a)-S1(a)とおく．e2≦a≦e3におけるT(a)の最大値と最小値を求めよ．

　国立 東京海洋大学 2012年 第2問

aを正の定数とする．放物線C:y=(1-x)(x+a)とC上の動点P(t,(1-t)(t+a))について，次の問に答えよ．ただし，0＜t＜1とする．
(1)x軸に関してPと対称な点をQ，xy平面の原点をOとし，放物線Cとy軸および2つの線分PQ，OQとで囲まれた図形の面積をSとするとき，Sをtとaで表せ．
(2)Sを最大にするtが3/4＜t＜4/5の範囲に存在することを示せ．

　私立 早稲田大学 2012年 第1問

a,bを実数とする．2次方程式
x2+(a-1)x+b+1=0
が実数解を持ち、すべての解の絶対値が1以下になっているとき，次の問いに答えよ．
(1)点(a,b)が存在する領域をDとする．Dに含まれる
aの最大値は[ア]，最小値は[イ]，
bの最大値は[ウ]，最小値は[エ]である．
(2)領域Dの面積は[オ]である．