「存在」について

　国立 大阪教育大学 2010年 第1問

平面上に，点O，Aを|ベクトルOA|=1であるようにとる．Oを中心にAを反時計回りに，π/6回転させた位置にある点をB，π/2回転させた位置にある点をCとする．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCと表す．次の問に答えよ．
(1)ベクトルbをベクトルa,ベクトルcを用いて表せ．
(2)△OABの面積と△OBCの面積をそれぞれ求めよ．
(3)直線ACと直線OBとの交点をDとする．また，Bを通って直線ACに平行な直線と，・・・

　国立 山梨大学 2010年 第2問

y=x2を平行移動してできる放物線Cは点Q(1,1)を通り，その軸の方程式はx=pで，p＜1であるとする．点Qにおける放物線Cの接線をℓ1，点Qにおいてℓ1に直交する直線をℓ2とし，ℓ1とx軸との交点をA，ℓ2とx軸との交点をBとする．また，点Qの位置ベクトルをベクトルq=(1,1)で表し，直線ℓ1,ℓ2の方向ベクトルをそれぞれベクトルa=(1,m),ベクトルb=(1,n)とする．
(1)放物線Cの方程式をpを使って表せ．
\・・・

　国立 滋賀医科大学 2010年 第4問

2回微分可能な関数f(x)，すなわちf(x)の導関数f´(x)及びf´(x)の導関数f^{\prime\prime}(x)が存在する関数が，すべての実数xについて
f´(x)＞f^{\prime\prime}(x)
を満たしている．また，a＜bとする．
(1)\frac{f´(a)}{ea}＞\frac{f´(b)}{eb}を示せ．
(2)\frac{f´(a)}{ea}＞\frac{f(b)-f(a)}{eb-ea}＞\frac{f´(b)}{eb}を示せ．
(3)すべての実数xについてf(x)＞0であるとき，すべての実数xについて
f(x)＞f^\pri・・・

　国立 福岡教育大学 2010年 第4問

空間上に相異なる4点O，A，B，Cがあり，線分OA，OB，OCは互いに直交している．次の問いに答えよ．
(1)4点O，A，B，Cからの距離が全て等しくなる点がただ一つ存在する．この点をGとする．線分OAの中点をMとする．ベクトルOAとベクトルMGが直交することを用いて，
ベクトルOA・ベクトルOG=1/2|ベクトルOA|2
となることを示せ．ただし，ベクトルOA・ベクトルOGはベクトルOAと・・・

　私立 早稲田大学 2010年 第2問

xy平面上の点(x1,y1)に対して，点(x2,y2)，(x3,y3)，・・・を次の式で順に定める．
(\begin{array}{c}
x_{n+1}\\
y_{n+1}
\end{array})={\begin{array}{ll}
(\begin{array}{cc}
0&-1\
1&0
\end{array})(\begin{array}{c}
x_{n}\\
y_{n}
\end{array})&(yn≧0　のとき　)\
(\begin{array}{cc}
-1&0\
0&-1
\end{array})(\begin{array}{c}
x_{n}\\
y_{n}
\end{array})&(yn＜0　のとき　)
\end・・・

　私立 関西大学 2010年 第1問

b,cを実数とし，2次方程式x2+bx+c=0の解をα,βとする．次の[]をうめよ．
(1)α=cosθ，β=sinθとなる0≦θ＜2πが存在すれば，bとcは等式[1]を満たす．
(2)α=3cosθ，β=sinθとなる0≦θ＜2πが存在するという条件のもとで，bのとりうる最大の値は[2]であり，このときα=[3]，β=[4]である．また，同じ条件のもとでcのとりうる最大の値は[5]で・・・

　私立 早稲田大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)平面上の4点O(0,0)，A(0,2)，B(4,0)，C(1,1)に対し，線分BCの垂直二等分線は[ア]x+y+[イ]=0となる．また，平面上でPC≦PO，PC≦PA，PC≦PBを満たす点Pの存在する範囲は3点(0,1)，(2,[ウ])，([エ],[オ])を頂点とする三角形の内部および周であり，この三角形の面積は[カ]である．
(2)平面上に3点O，A・・・

　私立 西南学院大学 2010年 第5問

xy平面上の3点(0,-13)，(1,-6)，(3,2)を通る2次関数のグラフy=f(x)があり，これとx軸で囲まれた部分の中に存在する平行四辺形ABCDを考える．ここで，平行四辺形の辺ABはx軸上にあり，点Cと点Dは2次関数のグラフ上にある．ただし，点Aのx座標は点Bのx座標より小さく，点Cのx座標は4より大きいものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)上の条件を満たすf(x)を求めよ．
(2)点Cのx座標をtとするとき，平行四辺・・・

　私立 聖マリアンナ医科大学 2010年 第4問

kを実数の定数とするとき，下記の問いに答えなさい．
(1)f(x)=2x3+x2-5x+3，g(x)=x4+x2-(k+1)x+kとおく．kの値が変化するとき，曲線y=f(x)とy=g(x)の共有点の個数を調べなさい．
(2)xについての方程式6tanx+cosx-ksinx=0(0＜x＜π/2)を考える．kの値が変化するとき，実数解の個数が2個であるのは[1]のときである．また実数解の個数が1個であるのは[2]のときであり，実数解が存在しないのは[3]のときである．
\m・・・

　公立 大阪府立大学 2010年 第3問

単位行列Eの実数倍ではない行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)を考える．Aで表わされるxy平面上の移動をfとする．
(1)A2=kEを満たす実数kが存在するための必要十分条件は，a+d=0であることを示せ．
(2)a+d=0のとき，原点Oとは異なる点Pで，f(P)が直線OP上にあるものが存在すれば，a2+bc≧0であることを示せ．
(3)a+d=0かつa2+bc≧0であるとする．このとき\lambda=\sqrt{a2+bc}とおけば，(A-\lambdaE)(A+\lambdaE)=Oが成り立つことを示・・・