「実数解」について

　私立 北里大学 2015年 第7問

関数f(x)=x3-3(a+1)x2+12ax-12a+7/2について，以下の問に答えよ．ただし，aは定数とする．
(1)方程式f(x)=0が異なる3個の実数解をもつように定数aの値の範囲を定めよ．
(2)方程式f(x)=0が異なる3個の正の実数解をもつように定数aの値の範囲を定めよ．

　国立 静岡大学 2014年 第2問

a,b,c,d,s,tを実数とし，b≠0とする．A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})とし，B=(\begin{array}{rr}
1&0\
s&-1
\end{array})は等式
AB+BA=(a+d)B
を満たすとする．xの2次方程式
x2-(a+d)x+ad-bc=0
は異なる2つの実数解α,βをもつとし，列ベクトルX=(\begin{array}{c}
1\
t
\end{array})は等式AX=αXを満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)sを行列Aの成分を用いて・・・

　国立 静岡大学 2014年 第4問

aを定数とする．2次関数f(x)は等式
f(x)=6(a+1)x2-12x∫01f(t)dt+5a-2
を満たすとする．このとき，2次関数f(x)と3次関数g(x)=-4x3+f(x)について，次の問いに答えよ．
(1)定積分∫01f(t)dtをaを用いて表せ．
(2)3次関数g(x)の増減を調べ，極値があればその極値を求めよ．
(3)3次方程式g(x)=0が異なる3つの実数解をもつとき，定数aの値の範囲を求めよ．

　国立 静岡大学 2014年 第2問

a,b,c,d,s,tを実数とし，b≠0とする．A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})とし，B=(\begin{array}{rr}
1&0\
s&-1
\end{array})は等式
AB+BA=(a+d)B
を満たすとする．xの2次方程式
x2-(a+d)x+ad-bc=0
は異なる2つの実数解α,βをもつとし，列ベクトルX=(\begin{array}{c}
1\
t
\end{array})は等式AX=αXを満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)sを行列Aの成分を用いて・・・

　国立 佐賀大学 2014年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)0以上の整数nに対して，2次方程式x2+2(n-5)x+n2-n=0が実数解をもつとする．このとき，nの値をすべて求めよ．
(2)二桁の自然数で，一の位の数と十の位の数の和の2乗がもとの二桁の自然数になるような数をすべて求めよ．

　国立 宮崎大学 2014年 第4問

tを定数とする2次方程式z2-tz+t-1/2=0について，次の各問に答えよ．ただし，定数tは実数とする．
(1)この2次方程式が実数解をもち，すべての解が-1以上1以下であるような定数tの値の範囲を求めよ．
(2)この2次方程式が2つの共役な虚数解z=x±yi（x,yは実数，iは虚数単位）をもち，x2+y2≦1を満たすような定数tの値の範囲を求めよ．

　国立 奈良女子大学 2014年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)xについての2次方程式x2+ax+b=0の異なる実数解の個数が2個であるとき，実数a,bのみたす条件を求めよ．
(2)xについての4次方程式x4+ax2+b=0の異なる実数解の個数が4個であるとき，実数a,bのみたす条件を求めよ．
(3)xについての4次方程式x4+ax2+b=0の異なる実数解の個数が2個であるとき，実数a,bのみたす条件を求めよ．
(4)a,bが(3)の条件をみたすとき，点(a,b)の存在する領域をab平面上に図示せよ．

　国立 岐阜大学 2014年 第2問

サイコロを3回振り，出た目を順にa,b,cとする．関数f(x)を
f(x)=3ax2-2bx+3c
と定める．以下の問に答えよ．
(1)方程式f(x)=0がx=1を解にもつ確率を求めよ．
(2)方程式f(x)=0が異なる2つの実数解をもつ確率を求めよ．
(3)方程式f(x)=0が異なる2つの実数解をもつような(a,b,c)の組について考える．このとき，x軸と曲線y=f(x)で囲まれる図形の面積Sをa,b,cを用いて表せ．また，Sの最大値を求めよ．

　国立 岐阜大学 2014年 第2問

サイコロを3回振り，出た目を順にa,b,cとする．関数f(x)を
f(x)=3ax2-2bx+3c
と定める．以下の問に答えよ．
(1)方程式f(x)=0がx=1を解にもつ確率を求めよ．
(2)方程式f(x)=0が異なる2つの実数解をもつ確率を求めよ．
(3)方程式f(x)=0が異なる2つの実数解をもつような(a,b,c)の組について考える．このとき，x軸と曲線y=f(x)で囲まれる図形の面積Sをa,b,cを用いて表せ．また，Sの最大値を求めよ．

　国立 富山大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)2つの実数a,bがともに2より大きいための必要十分条件は，ab-2(a+b)+4＞0かつa+b＞4であることを示せ．
(2)定数kに対して，方程式
(log2x)2-(k+2)log2x-k+17=0
を考える．
(i)方程式が実数解α,βをもつとき，log2(αβ)と(log2α)(log2β)をkを用いて表せ．
(ii)方程式が4より大きい異なる2つの実数解をもつようなkの値の範囲を求めよ．