タグ「導関数」の検索結果
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f(x)=|x-2|\sqrt{x+1}(x≧-1)として，以下の問に答えよ．
(1)導関数f^{\prime}(x)および2次導関数f^{\prime\prime}(x)を求めよ．ただし，x=-1,2を除くものとする．
(2)f(x)の増減，極値，凹凸を調べ，y=f(x)のグラフをかけ．
国立 大阪大学 2010年 第1問関数
f(x)=2log(1+ex)-x-log2
を考える．ただし，対数は自然対数であり，eは自然対数の底とする．
(1)f(x)の第2次導関数をf^{\prime\prime}(x)とする．等式
logf^{\prime\prime}(x)=-f(x)
が成り立つことを示せ．
(2)定積分∫0^{log2}(x-log2)e^{-f(x)}dxを求めよ．
国立 島根大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数xに対して次の等式を満たす関数f(x)を求めよ．
f(x)=sin2x+2√2∫0^{π/4}f(t)costdt
(2)すべての実数xに対して次の等式を満たす関数g(x)を求めよ．
g(x)=x-1/2sin2x+∫0^{x}g^{\prime}(t)costdt
ただし，g(x)は微分可能で，その導関数g^{\prime}(x)は連続であるとする．
国立 島根大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数xに対して次の等式を満たす関数f(x)を求めよ．
f(x)=sin2x+2√2∫0^{π/4}f(t)costdt
(2)すべての実数xに対して次の等式を満たす関数g(x)を求めよ．
g(x)=x-1/2sin2x+∫0^{x}g^{\prime}(t)costdt
ただし，g(x)は微分可能で，その導関数g^{\prime}(x)は連続であるとする．
国立 富山大学 2010年 第3問f(x)=(1+x)^{1/x}(x＞0)とするとき，次の問いに答えよ．
(1)logf(x)を微分することによって，f(x)の導関数を求めよ．
(2)0＜x1＜x2をみたす実数x1,x2に対して，f(x1)＞f(x2)であることを証明せよ．
(3)(\frac{101}{100})^{101}と(\frac{100}{99})^{99}の大小を比較せよ．
国立 富山大学 2010年 第1問f(x)=(1+x)^{1/x}(x＞0)とするとき，次の問いに答えよ．
(1)logf(x)を微分することによって，f(x)の導関数を求めよ．
(2)0＜x1＜x2をみたす実数x1,x2に対して，f(x1)＞f(x2)であることを証明せよ．
(3)(\frac{101}{100})^{101}と(\frac{100}{99})^{99}の大小を比較せよ．
国立 富山大学 2010年 第2問f(x)=(1+x)^{1/x}(x＞0)とするとき，次の問いに答えよ．
(1)logf(x)を微分することによって，f(x)の導関数を求めよ．
(2)0＜x1＜x2をみたす実数x1,x2に対して，f(x1)＞f(x2)であることを証明せよ．
(3)(\frac{101}{100})^{101}と(\frac{100}{99})^{99}の大小を比較せよ．
国立 高知大学 2010年 第3問関数f(x)の導関数f^{\prime}(x)はf^{\prime}(x)=x2-1を満たし，さらにf(3)=6であるとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)f(x)を求めよ．
(2)f(x)の極大値と極小値を求めよ．
(3)曲線y=f(x)と直線y=kxが接するときのkの値を求めよ．
(4)g(x)=2/9x3+2/3x2-2xとする．このとき，y=f(x)とy=g(x)のグラフを同一座標平面上に図示せよ．また，それらの共有点の座標を求めよ．
国立 熊本大学 2010年 第3問関数f(x)=∫x^{π/4-x}log4(1+tant)dt(0≦x≦π/8)について，以下の問いに答えよ．
(1)f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(2)f(0)の値を求めよ．
(3)条件a1=f(0),a_{n+1}=f(an)(n=1,2,3,・・・)によって定まる数列{an}の一般項anを求めよ．
国立 熊本大学 2010年 第4問関数f(x)=∫x^{π/4-x}log4(1+tant)dt(0≦x≦π/8)について，以下の問いに答えよ．
(1)f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(2)f(π/8)およびf(0)の値を求めよ．
(3)条件a1=f(0),a_{n+1}=f(an)(n=1,2,3,・・・)によって定まる数列{an}の一般項anを求めよ．
