「導関数」について

　国立 大分大学 2012年 第4問

I1=∫03\sqrt{x2+9}dx,I2=∫03\frac{dx}{\sqrt{x2+9}}とする．
(1)次の等式がすべての実数xについて成り立つように，定数a,bの値を定めなさい．
\frac{x2}{\sqrt{x2+9}}=a\sqrt{x2+9}+\frac{b}{\sqrt{x2+9}}
(2)I1において部分積分することにより，I1をI2で表しなさい．
(3)log(x+\sqrt{x2+9})の導関数を利用して，I2を求めなさい．
(4)曲線x2-y2=-9と直線y=3√2で囲まれた部分の面積Sを求めなさい．

　国立 電気通信大学 2012年 第1問

関数f(x)=\frac{1}{x2+1}に対して，xy平面上の曲線C:y=f(x)を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)導関数f´(x)を求めよ．
(2)曲線Cの第1象限にある変曲点Pの座標を求めよ．
(3)変曲点Pにおける曲線Cの接線ℓの方程式を求めよ．
(4)x=tanθ(-π/2＜θ＜π/2)とおく．このとき，不定積分
I=∫\frac{dx}{x2+1}
をθを用いて表せ．なお，不定積分の計算においては積分定数を・・・

　国立 滋賀医科大学 2012年 第3問

正の整数nに対して，fn(x)=Σ_{k=1}n(-1)^{k+1}(\frac{x^{2k-1}}{2k-1}+\frac{x^{2k}}{2k})を考える．
(1)導関数fn´(x)を求めよ．ただし和の記号Σを用いずに表せ．
(2)∫01\frac{1+x}{1+x2}dxを求めよ．
(3)\lim_{n→∞}fn(1)を求めよ．

　国立 宮城教育大学 2012年 第1問

関数f(x)=ax3-(a+3)x+a+3について，次の問いに答えよ．ただしaは0でない実数とする．
(1)f(x)の導関数をf´(x)とする．xの方程式f´(x)=0が実数解をもつようなaの範囲を求め，またそのときの実数解をすべて求めよ．
(2)xの方程式f(x)=0が3個の異なる実数解をもつようなaの範囲を求めよ．

　国立 長崎大学 2012年 第6問

次の問いに答えよ．
(1)I1=∫0^{√3}\frac{dx}{x2+1}とする．x=tanθとおくことにより，I1=π/3を示せ．
(2)(1)のI1を部分積分して，I1とI2=∫0^{√3}\frac{dx}{(x2+1)2}の関係式を導き，I2の値を求めよ．
(3)t=x+\sqrt{x2+1}とおくことにより，不定積分∫\frac{dx}{\sqrt{x2+1}}を求めよ．
(4)合成関数の微分法を用いて，関数y=log(x+\sqrt{x2+1})の導関数を求めよ．
(5)極限値\・・・

　国立 宮城教育大学 2012年 第4問

関数f(x)=2sinx-xcosx(0≦x≦π)について，次の問いに答えよ．
(1)f(x)の導関数をf´(x)とするとき，π/2≦a≦πおよびf´(a)=0を満たすaがただ1つ存在することを示せ．
(2)(1)のaを用いて，関数y=f(x)の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)(1)のaについて，0＜t＜aとするとき，
S(t)=∫0a|f(x)-f(t)|dx
が最小となるようなtの値をaを用いて表せ．

　国立 宮城教育大学 2012年 第5問

関数f(x)は微分可能で，導関数f´(x)は連続であるとする．p(x)=xe^{2x}とおくとき，f(x)は
∫0xf(t)cos(x-t)dt=p(x)
を満たしている．このとき次の問いに答えよ．
(1)f(0)=p´(0)を示せ．
(2)f´(x)=p(x)+p^{\prime\prime}(x)を示せ．
(3)f(x)を求めよ．

　国立 京都教育大学 2012年 第6問

2つの関数
f(x)=x3+1,g(x)=f(1)+f´(1)(x-1)+1/2f^{\prime\prime}(1)(x-1)2
について，次の問に答えよ．
(1)導関数の定義に従ってf(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(2)g(x)を求めよ．
(3)0≦x≦1において常にf(x)≦g(x)であることを証明せよ．
(4)2つの曲線y=f(x)，y=g(x)とy軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

　私立 早稲田大学 2012年 第3問

実数係数のxの多項式で表された関数f(x)は，導関数f^{\prime}(x)がすべての実数xに対して
f´(x)＞0をみたし，かつ，f´(x)は極大値をもつとする．実数sに対して，点(s,f(s))における曲線y=f(x)の接線とx軸との交点のx座標をsの関数としてg(s)と表す．
(1)導関数g´(s)を求めよ．
(2)関数g(s)は極大値と極小値をもつことを示せ．

　私立 東京理科大学 2012年 第1問

次の文章中の[ア]から[ラ]までに当てはまる数字0～9を求めて記入せよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．
(1)数列{an},{bn}(n=1,2,3,・・・)は次の関係式を満たすとする．
a1=0,{\begin{array}{l}
bn=1/5an+1\
a_{n+1}=3bn+2
\end{array}.(n=1,2,3,・・・)
このとき，b1=[ア]で，n\geq1に対してb_{n+1}=\frac{[イ]}{[ウ]}bn+\frac{[エ]}{\・・・