「平方」について

　国立 茨城大学 2014年 第1問

下の図は自然数の平方数を三角形状に順に並べたものである．各平方数については，第n段目の第m項と呼ぶことにする．例えば，第4段目の第2項と呼ばれる平方数は64である．このとき，次の各問に答えよ．
\begin{center}
\begin{tabular}{ccccccccccc}
&&&&&1&&&&&\
&&&&4&&9&&&&\
&&&16&&25&&36&&&\
&&49&&64&&81&&100&&\
&121&&144&&169&&196&&225&\
・・・&&・・・&&・・・&&・・・&&・・・&&\・・・

　国立 長崎大学 2014年 第2問

1から2nまでの偶数の平方の和をan，奇数の平方の和をbnとする．すなわち
an=22+42+・・・+(2n)2,bn=12+32+・・・+(2n-1)2
である．なお，1からnまでの自然数の平方の和については
12+22+・・・+n2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
が成り立つ．次の問いに答えよ．
(1)偶数の平方の和22+42+・・・+202と奇数の平方の和12+32+・・・+192を求めよ．
(2)anとbnを求めよ．
(3)\frac{1}{an}-\frac{3}{2n(2n+1)}および・・・

　国立 長崎大学 2014年 第2問

1から2nまでの偶数の平方の和をan，奇数の平方の和をbnとする．すなわち
an=22+42+・・・+(2n)2,bn=12+32+・・・+(2n-1)2
である．なお，1からnまでの自然数の平方の和については
12+22+・・・+n2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
が成り立つ．次の問いに答えよ．
(1)偶数の平方の和22+42+・・・+202と奇数の平方の和12+32+・・・+192を求めよ．
(2)anとbnを求めよ．
(3)\frac{1}{an}-\frac{3}{2n(2n+1)}および・・・

　国立 長崎大学 2014年 第2問

1から2nまでの偶数の平方の和をan，奇数の平方の和をbnとする．すなわち
an=22+42+・・・+(2n)2,bn=12+32+・・・+(2n-1)2
である．なお，1からnまでの自然数の平方の和については
12+22+・・・+n2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
が成り立つ．次の問いに答えよ．
(1)偶数の平方の和22+42+・・・+202と奇数の平方の和12+32+・・・+192を求めよ．
(2)anとbnを求めよ．
(3)\frac{1}{an}-\frac{3}{2n(2n+1)}および・・・

　私立 福岡大学 2014年 第7問

ある整数の2乗で表される数を平方数という．3桁の平方数すべての和を求めると[]である．また，3桁の平方数のうち，3で割ると1余る数すべての和を求めると[]である．

　私立 藤田保健衛生大学 2014年 第2問

三角形ABCにおいて∠ABC=π/2，AB=c，CA=b，∠ACB=θとする．また辺BCの延長上に点DをCD=bとなるようにとり，∠ADB=αとする．
(1)このb,cに対してx+y=2b2，xy=b4-b2c2を満足するx,yでx＞yとなるものを求めると，(x,y)=[5]である．
(2)線分ADの長さの平方は[6]である．従ってsinαの値を二重根号を用いずに，b,cで表せば\kakko{7・・・

　私立 吉備国際大学 2014年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)x2-2xy+3x-4y+2を因数分解せよ．
(2)x=\frac{2}{√3+1}のときx2+2x-4の値を求めよ．
(3)10個の製品の中に3個の不良品が含まれている中から3個の製品を同時に選び出すとき，不良品が少なくとも1個含まれる確率を求めよ．
(4)連続する7個の自然数で小さい方の4つの数の平方の和が，大きい方の3つの数の平方の和に等しくなるとき，7つの自然数をすべて求めよ．
(5)不等式x2+4x-2＜0を解け．

　私立 立教大学 2014年 第1問

次の空欄[ア]，[イ]に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄[ウ]～[サ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)実数a,bについて，命題「ab=0ならばb=0である」の逆は[ア]であり，裏は[イ]である．
(2)x=\frac{√5-1}{√5+1}のとき，x2+\frac{1}{x2}=[ウ]，x4+\frac{1}{x4}=[エ]と，いずれも整数で表せる．
(3)すべての実数xについて2次不等式x2-2(k+1)x+2k2＞0・・・

　私立 大同大学 2013年 第1問

次の[]にあてはまる0から9までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．
(1)放物線C:y=x2+ax+bが点(5,8)を通るとすると，b=-[]a-[][]である．さらに，Cの頂点がy軸上にあるときa=[]，b=-[][]であり，Cの頂点がx軸上にあるときa=-[][]±[]\sqrt{[]}である．
(2)2a2-ab-15b2=([]a+[]b)(a-[]b)である．a=3√6+5√2，b=√6-2・・・

　私立 大同大学 2013年 第2問

次の[]にあてはまる0から9までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．
(1)\frac{(α+β)3-(α3+β3)}{α+β}=[]αβである．a=\sqrt[3]{48}+\sqrt[3]{36}のとき\frac{a3-84}{a}=[][]であり，b=\sqrt[3]{10+\sqrt{19}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{19}}のときlog_{81}\frac{b3-20}{b}=\frac{[]}{[][]}である．
(2)AB=1，\ten{・・・