「微分係数」について

　国立 茨城大学 2015年 第1問

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，eは自然対数の底である．
(1)関数f(x)=x2\sqrt{1+logx}のx=e3における微分係数f´(e3)を求めよ．
(2)0≦x≦πの範囲において，2つの曲線y=sinxとy=sinx/2で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)極限\lim_{x→2}\frac{1}{x3-8}∫2xt22^{t2}dtを求めよ．

　私立 東京理科大学 2015年 第2問

次の問いに答えなさい．
(1)aを実数の定数とし，xの関数f(x)=ax2+4ax+a2-1を考える．区間-4≦x≦1における関数f(x)の最大値が5であるとき，定数aの値を求めなさい．
(2)f(x)およびg(x)はx=aで微分可能な関数とする．このとき，極限値
\lim_{h→0}\frac{f(a+3h)g(a+5h)-f(a)g(a)}{h}
をf(a)，g(a)および微分係数f´(a)，g´(a)を用いて表しなさい．

　国立 弘前大学 2014年 第3問

a＞0，b＞1とする．関数f1(x)=-2x2-x+3とf2(x)=ax2-a(b+1)x+abに対し，関数f(x)をx≦1のときf(x)=f1(x)，x＞1のときf(x)=f2(x)と定める．また関数g(x)をg(x)=∫_{-3/2}xf(t)dtと定める．次の問いに答えよ．
(1)微分係数{f1}´(1)と{f2}´(1)が等しくなるためのa,bの関係式を求めよ．
(2)a,bが(1)で求めた関係式を満たすとする．g(x)の最小値をbの値によって場合分けをして求めよ．

　国立 茨城大学 2014年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)\frac{{(1+i)}3}{-2+3i}=a+biを満たす実数a,bを求めよ．ただし，iは虚数単位である．
(2)3つの行列の積(\begin{array}{cc}
2&1\
4&3
\end{array})(\begin{array}{c}
1\
4
\end{array})(\begin{array}{cc}
2&3
\end{array})を計算せよ．
(3)f(x)={(x+4)}^{5/6}{(3x+2)}^{4/3}とする．関数f(x)のx=0における微分係数f´(0)を求めよ．
(4)極限\lim_{n\to・・・

　私立 慶應義塾大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)実数xの関数f(x)=x3-ax2+bx+4b-2は，\lim_{x→4}\frac{f(x)}{x-2}=-5を満たす．ただし，a,bは実数とする．このとき，
(i)bをaの式で表すと，b=[1]a-[2]である．
(ii)xの値が3から6まで変化するときの関数f(x)の平均変化率が，関数f(x)のx=2+√7における微分係数に等しいとき，a=[3]，b=[4]である．
(2)実数aについての方程式
A=\・・・

　国立 茨城大学 2013年 第4問

a,bを実数として，関数f(x)=x3-ax2+bx+1について次の各問に答えよ．
(1)微分係数f´(0)，f´(1)をa,bを用いて表せ．
(2)f(x)が極大値と極小値をもつためのa,bの条件を求めよ．
(3)f(x)が極大値と極小値をもつとき，極大値と極小値の平均が1となるためのa,bの条件を求めて，ab平面上に図示せよ．

　国立 岐阜大学 2013年 第4問

正の整数nについて，x＞0で定義された関数fn(x)を次で定める．
\begin{array}{l}
f1(x)=xlogx\
f_{n+1}(x)=(n+1)∫1xfn(t)dt+\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)
\end{array}
以下の問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数とする．
(1)関数f2(x)を求めよ．
(2)関数fn(x)の具体的な形を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(3)g(x)=|f2(x)|-|x-1|とおくとき，g(x)がx=1で微分可能であることを証明せよ．また，微分係数g´(1)を求めよ．
\end・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第2問

2つの関数
x=g(θ)=9/4sin2θ,y=h(x)=logx
に対して，関数g(θ)と関数h(x)の合成関数
f(θ)=h(g(θ))
を考える．ただし，対数は自然対数とする．
(1)f(π/3)=-[ア]log2+\frac{[イ]}{[ウ]}log3である．
(2)実数θ1がsinθ1+cosθ1=\frac{\sqrt{82}}{8}を満たすとき，
f(θ1)=-[エ]log2+[オ]log3
で・・・

　私立 津田塾大学 2010年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)nを自然数とする．次数がnの多項式P(x)=a0+a1x+・・・+anxnについてa1=P´(0)であることを確かめよ．ただし，P´(0)はP(x)のx=0における微分係数である．
(2)自然数nに対して，fn(x)=(x+1)(x+2)・・・(x+n)で与えられるn次多項式fn(x)の1次の係数をcnとする．f_{n+1}(x)=(x+n+1)fn(x)を用いて，c_{n+1}=n!+(n+1)cnが成り立つことを示せ．また，それを用いて，cn=n!(1+1/2+1/3+・・・+1/n\・・・

　私立 中央大学 2010年 第3問

関数
f(x)=|x|(1/3x2-1/4x)-3/4x2+1
に対し，以下の設問に答えよ．
(1)a＜0とするとき，関数y=f(x)のx=aにおける微分係数f´(a)を求めよ．
(2)b＞0とするとき，関数y=f(x)のx=bにおける微分係数f´(b)を求めよ．
(3)関数y=f(x)の区間-2≦x≦3における最大値と最小値を求めよ．