「微分」について

　国立 長崎大学 2012年 第6問

次の問いに答えよ．
(1)I1=∫0^{√3}\frac{dx}{x2+1}とする．x=tanθとおくことにより，I1=π/3を示せ．
(2)(1)のI1を部分積分して，I1とI2=∫0^{√3}\frac{dx}{(x2+1)2}の関係式を導き，I2の値を求めよ．
(3)t=x+\sqrt{x2+1}とおくことにより，不定積分∫\frac{dx}{\sqrt{x2+1}}を求めよ．
(4)合成関数の微分法を用いて，関数y=log(x+\sqrt{x2+1})の導関数を求めよ．
(5)極限値\・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)1から9までの番号が書かれた9個のポールが袋に入っている．この袋の中から1個のボールを取り出し，その番号を確認してからもとに戻す試行を考える．
(i)この試行を3回行ったとき，同じ番号のボールを少なくとも2回取り出す確率は\frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]}である．
(ii)この試行を2回行ったとき，取り出したボールの番号の差が1以下となる確率は\frac{\kakkotwo{オ}{・・・

　私立 中央大学 2012年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)次の式を展開せよ．
(x+1)(x-1)(2x+3)(3x-1)
(2)mは自然数である．xについての2次方程式
x2-2mx+6m-8=0
が，実数解を持たないとき，mの値を求めよ．
(3)0°≦θ≦360°において，次の関数の最大値と最小値を求めよ．
y=2sin2θ+cosθ-2
(4)次の定積分の値を求めよ．
∫12(3x2+4x+2)dx
(5)大小2つのさいころを投げ，出た目の数をそれぞれa,bとするとき，|a-b|≧3となる確率を求めよ．
・・・

　私立 津田塾大学 2012年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)多項式f(x)とg(x)の間に
f(x)=2x+∫01g(t)dt
g(x)=∫0xf(t)dt+∫01f(t)dt
という関係が成り立つとき，f(x)とg(x)を求めよ．
(2)関数y=log(x+\sqrt{x2+1})を微分せよ．
(3)1から6までの番号が1つずつ書かれた6枚のカードを横一列に並べる．1が書かれたカードと2が書かれたカードの間に他のカードが1枚ある並べ方は何通りあるか．

　私立 大阪工業大学 2012年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)関数f(t)=2t3-3t2+1(0≦t≦1)の最小値を求めよ．
(2)(1)を利用して，0＜x＜π/2のとき，2cos3x-3cos2x+1＞0となることを示せ．
(3)関数g(x)=tanx+2sinx-3xを微分せよ．
(4)0＜x＜π/2のとき，tanx+2sinx＞3xとなることを示せ．

　私立 大阪工業大学 2012年 第4問

関数f(x)=x\sqrt{1-x}(0≦x≦1)について，次の問いに答えよ．
(1)f(x)を微分せよ．
(2)f(x)の最大値を求めよ．
(3)曲線y=f(x)とx軸で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ．

　公立 高知工科大学 2012年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)x3-2x2+7x-1=(x-1)3+a(x-1)2+b(x-1)+cがxについての恒等式であるとき，定数a,b,cの値を求めよ．
(2)方程式|x|+3|x-2|=x+1を解け．
(3)平行四辺形OABCにおいて，辺AB上に点Dを
　AD　:　DB　=2:1
を満たすようにとり，BCの中点をEとする．直線ODと直線AEとの交点をFとするとき，線分の長さの比の値\frac{　OF　}{　OD　},\frac{　AF　}{　AE　}を求めよ．
(4)定数aを含む開区間で定義された関数y=f(x)のx=aにおける・・・

　公立 横浜市立大学 2012年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)aを正の定数として，関数f(x)をf(x)=log(\sqrt{a2+x2}-x)とおく．f(x)を微分して，多項式
f(0)+f´(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x3
を求めよ．
(2)座標平面において，曲線C:y=sinx(0＜x＜π/2)上の点P(a,sina)におけるCの法線がx軸と交わる点をQとする．線分PQを直径とする円が，x軸と交わるQ以外の点をRとする．このと・・・

　国立 弘前大学 2011年 第2問

nを自然数とし，
Sn=∫_{(n-1)π}^{nπ}e^{-x}(|sinx|+1)\;dx
とする．ただし，eは自然対数の底である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)e^{-x}(sinx+cosx)を微分せよ．
(2)Snおよび無限級数Σ_{n=1}^∞Snの和を求めよ．

　国立 茨城大学 2011年 第1問

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，eは自然対数の底である．
(1)次の関数を微分せよ．
\mon[(i)]y=sin32x
\mon[(ii)]y=log\frac{ex}{ex+1}
(2)次の不定積分を求めよ．
(3)∫\frac{1}{x2}(1+2/x)2dx
\mon[(ii)]∫\frac{x2}{x2-1}dx
(4)定積分∫_{-1}^{log2}e^{|x|}e^{x}dxを求めよ．
\end{e・・・