タグ「数学的帰納法」の検索結果
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cは実数とする．数列a1,a2,a3,・・・はa1=1，a2=cであり，さらに漸化式
a_{n+2}=a_{n+1}+an(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)a3={a2}2が成り立つようなcの値を求めよ．
(2)cが(1)で求めた値のとき，数列a1,a2,a3,・・・が等比数列であることを数学的帰納法を用いて示せ．
(3)(1)で求めたcの値のうち，\lim_{n→∞}an=0となるものを求めよ．
(4)cが(3)で求めた値のとき，Σ_{・・・
国立 香川大学 2015年 第3問数列{an}は，
a1=2,a_{n+1}=\frac{2an+2}{an+2}(n=1,2,3,・・・)
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)nが自然数のとき，数学的帰納法を用いて√2＜anを示せ．
(2)nが自然数のとき，a_{n+1}＜anを示せ．
(3)nが自然数のとき，数学的帰納法を用いて
an-√2≦\frac{(2-√2)n}{3^{n-1}}
を示せ．
国立 香川大学 2015年 第3問数列{an}は，
a1=2,a_{n+1}=\frac{2an+2}{an+2}(n=1,2,3,・・・)
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)nが自然数のとき，数学的帰納法を用いて√2＜anを示せ．
(2)nが自然数のとき，a_{n+1}＜anを示せ．
(3)nが自然数のとき，数学的帰納法を用いて
an-√2≦\frac{(2-√2)n}{3^{n-1}}
を示せ．
国立 福岡教育大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1){(x-3y+2z)}7の展開式におけるx4y2zの項の係数を求めよ．
(2)aを定数とし，0＜a＜1とする．不等式
loga(a-x-y)＞logax+logay
が表す領域を図示せよ．
(3)nは3以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
2n＞1/2n2+n
国立 福岡教育大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1){(x-3y+2z)}7の展開式におけるx4y2zの項の係数を求めよ．
(2)aは正の定数で，a≠1とする．不等式
loga(a-x-y)＞logax+logay
が表す領域を図示せよ．
(3)nは3以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
2n＞1/2n2+n
国立 群馬大学 2015年 第2問数列{an}，{bn}，{cn}，{dn}は，初項がそれぞれa1=a，b1=b，c1=c，d1=dで与えられ，漸化式
a_{n+1}=2an+bn,b_{n+1}=an+2bn,c_{n+1}=2cn+dn,d_{n+1}=cn+2dn
を満たす．ただし，a,b,c,dはc/a＜d/bを満たす正の数とする．
(1)c/a＜\frac{c+d}{a+b}＜d/bが成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数nについて\frac{cn}{an}＜\frac{dn}{bn}が成り立つことを，・・・ 国立 群馬大学 2015年 第2問数列{an}，{bn}，{cn}，{dn}は，初項がそれぞれa1=a，b1=b，c1=c，d1=dで与えられ，漸化式
a_{n+1}=2an+bn,b_{n+1}=an+2bn,c_{n+1}=2cn+dn,d_{n+1}=cn+2dn
を満たす．ただし，a,b,c,dはc/a＜d/bを満たす正の数とする．
(1)c/a＜\frac{c+d}{a+b}＜d/bが成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数nについて\frac{cn}{an}＜\frac{dn}{bn}が成り立つことを，・・・ 国立 群馬大学 2015年 第1問数列{an}，{bn}，{cn}，{dn}は，初項がそれぞれa1=a，b1=b，c1=c，d1=dで与えられ，漸化式
a_{n+1}=2an+bn,b_{n+1}=an+2bn,c_{n+1}=2cn+dn,d_{n+1}=cn+2dn
を満たす．ただし，a,b,c,dはc/a＜d/bを満たす正の数とする．
(1)c/a＜\frac{c+d}{a+b}＜d/bが成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数nについて\frac{cn}{an}＜\frac{dn}{bn}が成り立つことを，・・・
国立 愛知教育大学 2015年 第5問nを自然数とするとき，等式
1・(2n-1)+2・(2n-3)+3・(2n-5)+・・・+(n-1)・3+n・1=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
が成り立つことを，数学的帰納法により証明せよ．
私立 早稲田大学 2015年 第4問nは任意の自然数，また，k=1,2,・・・,nについてakは0≦ak≦kを満たす整数である．このとき，以下の問に答えよ．
(1)数学的帰納法により，次の等式を示せ．
1・1!+2・2!+・・・+n・n!=(n+1)!-1
(2)2015=a1・1!+a2・2!+・・・+an・n!が成り立っているとき，nを求めよ．ただし，an≠0とする．
(3)(2)の等式を成立させるa1,a2,・・・,anを求め，答のみ記入せよ．
