「数学的帰納法」について

　公立 兵庫県立大学 2012年 第1問

次の問に答えなさい．
(1)実数x,yに関する以下の命題で正しいものは証明し，誤っているものは反例をあげなさい．
(i)xとyが共に無理数であることはx+yが無理数であることの十分条件である．
(ii)xとyのいずれかが無理数であることはx+yが無理数であることの必要条件である．
(iii)xが有理数でyが無理数であることはx+yが無理数であることの十分条件である．
(2)数列{an}をa1=1,a2=1,an=a_{n-2}+a_{n-1}・・・

　公立 京都府立大学 2012年 第3問

n,an,bnを自然数とし，(2+√3)n=an+√3bnとする．以下の問いに答えよ．
(1)a_{n+1},b_{n+1}をan,bnを用いて表せ．
(2)(2-√3)n=an-√3bnとなることを数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)(2+√3)n以下の整数のうち最大のものをpan+qとする．pとqの値を求めよ．

　公立 愛知県立大学 2012年 第4問

A=\biggl(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\\
sinθ&cosθ
\end{array}\biggr)とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)すべての自然数nについて，
An=\biggl(\begin{array}{cc}
cosnθ&-sinnθ\\
sinnθ&cosnθ
\end{array}\biggr)
となることを数学的帰納法で示せ．
(2)θ=20°のとき，Am=Eとなる最小の自然数mを求めよ．ただし，E=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}\biggr)である．
(3)・・・

　公立 大阪府立大学 2012年 第2問

関数f(x)=\frac{2x-1}{2x+1}について，以下の問いに答えよ．
(1)f\biggl(1/2\biggr)を求めよ．
(2)f(2x)=\frac{2f(x)}{1+f(x)2}を示せ．
(3)すべての自然数nに対してbn=f\biggl(\frac{1}{2n}\biggr)は無理数であることを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，有理数r,sを用いて表される実数r+s√2はs≠0ならば無理数であることを，証明なく用いてもよい．

　公立 会津大学 2012年 第6問

a,bを実数の定数として，2次の正方行列Aを
A=(\begin{array}{cc}
a&a-b\
0&b
\end{array})
と定める．自然数nに対してAnを推測し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

　公立 名古屋市立大学 2012年 第3問

2つのベクトルをベクトルa=(2,1)，ベクトルb=(1,3)とおく．平面上の任意のベクトルベクトルw=(x,y)をベクトルw=kベクトルa+lベクトルbと表すとき，次の問いに答えよ．
(1)k,lをx,yで表せ．
(2)(1)のk,lに対して，点W(ベクトルw)を点U(kベクトルa)へ移す変換をf，点W(ベクトルw)を点V(lベクトルb)へ移す変換をgとするとき，2つの変換f,gを表す行列P,Qを求めよ．
(3)行列PQ，QP，P2，Q2を求めよ．
(4)行列Rが・・・

　公立 富山県立大学 2012年 第4問

a,b,c,dは実数とし，行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
-d&c\
b&-a
\end{array})とする．A2+A+E=Oが成り立つとき，次の問いに答えよ．ただし，Eは単位行列，Oは零行列とする．
(1)a+dおよびad-bcの値を求めよ．
(2)A3,A6,B3,B6を求めよ．
(3)B^{3n}(n=1,2,3,・・・)を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ．

　公立 岐阜薬科大学 2012年 第4問

行列A=(\begin{array}{cc}
3a-1&9a\
-a&-3a-1
\end{array})について，次の問いに答えよ．ただし，aは実数とする．
(1)A2,A3を求めよ．
(2)正の整数nについてAnを推定し，それを数学的帰納法で証明せよ．

　国立 秋田大学 2011年 第2問

関数f(x)=exについて，次の問いに答えよ．
(1)原点からy=f(x)のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ．
(2)(1)の接線の接点をP1とする．点P1からx軸に下ろした垂線とx軸との交点をA1(a1,0)とする．このとき，点A1からy=f(x)のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ．
(3)(2)の接線の接点をP2とする．点P2からx軸に下ろした垂線とx軸との交点をA2(a2,0)とする．このとき，点A2からy=f(x)のグラフへ接線を引き，その接点をP3とする．さらに，点P3からx軸に下ろした・・・

　国立 信州大学 2011年 第1問

正の数a1,a2,・・・,anと自然数n≧2に対して，次の不等式が成り立つことを数学的帰納法で証明しなさい．
Σ_{i=1}n\frac{ai}{1+ai}＞\frac{a1+a2+・・・+an}{1+a1+a2+・・・+an}