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どの目も出る確率が1/6のさいころを1つ用意し，次のように左から順に文字を書く．
さいころを投げ，出た目が1,2,3のときは文字列AAを書き，4のときは文字Bを，5のときは文字Cを，6のときは文字Dを書く．さらに繰り返しさいころを投げ，同じ規則に従って，AA，B，C，Dをすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，さいころを5回投げ，その出た目が順に2,5,6,3,4であったとす・・・
国立 東京大学 2015年 第1問以下の命題A，Bそれぞれに対し，その真偽を述べよ．また，真ならば証明を与え，偽ならば反例を与えよ．
命題Anが正の整数ならば，\frac{n3}{26}+100≧n2が成り立つ．
命題B整数n,m,ℓが5n+5m+3ℓ=1をみたすならば，10nm+3mℓ+3nℓ＜0が成り立つ．
国立 東京大学 2015年 第5問mを2015以下の正の整数とする．\comb{2015}{m}が偶数となる最小のmを求めよ． 国立 東京大学 2015年 第6問nを正の整数とする．以下の問いに答えよ．
(1)関数g(x)を次のように定める．
g(x)={\begin{array}{ll}
\frac{cos(πx)+1}{2}&(|x|≦1 のとき )\
0&(|x|＞1 のとき )
\end{array}.
f(x)を連続な関数とし，p,qを実数とする．|x|≦1/nをみたすxに対してp≦f(x)≦qが成り立つとき，次の不等式を示せ．
p≦n∫_{-1}1g(nx)f(x)dx≦q
(2)関数h(x)を次のように定め・・・
国立 東京大学 2015年 第4問投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ1/2のコインを1枚用意し，次のように左から順に文字を書く．
コインを投げ，表が出たときは文字列AAを書き，裏が出たときは文字Bを書く．さらに繰り返しコインを投げ，同じ規則に従って，AA，Bをすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，コインを5回投げ，その結果が順に表，裏，裏，表，裏であったとすると，得られる文字列は，
AABBA\te・・・
国立 京都大学 2015年 第5問a,b,c,d,eを正の有理数として整式
f(x)=ax2+bx+c
g(x)=dx+e
を考える．すべての正の整数nに対して\frac{f(n)}{g(n)}は整数であるとする．このとき，f(x)はg(x)で割り切れることを示せ．
国立 京都大学 2015年 第5問a,b,c,d,eを正の実数として整式
f(x)=ax2+bx+c
g(x)=dx+e
を考える．すべての正の整数nに対して\frac{f(n)}{g(n)}は整数であるとする．このとき，f(x)はg(x)で割り切れることを示せ．
国立 一橋大学 2015年 第1問nを2以上の整数とする．n以下の正の整数のうち，nとの最大公約数が1となるものの個数をE(n)で表す．たとえば
E(2)=1,E(3)=2,E(4)=2,・・・,E(10)=4,・・・
である．
(1)E(1024)を求めよ．
(2)E(2015)を求めよ．
(3)mを正の整数とし，pとqを異なる素数とする．n=pmqmのとき\frac{E(n)}{n}≧1/3が成り立つことを示せ．
国立 一橋大学 2015年 第3問nを4以上の整数とする．正n角形の2つの頂点を無作為に選び，それらを通る直線をℓとする．さらに，残りのn-2個の頂点から2つの頂点を無作為に選び，それらを通る直線をmとする．直線ℓとmが平行になる確率を求めよ．
国立 一橋大学 2015年 第5問次の\tocichi，\tocniのいずれか一方を選択して解答せよ．
\mon[\tocichi]数列{ak}をak=k+cos(\frac{kπ}{6})で定める．nを正の整数とする．
\mon[(1)]Σ_{k=1}^{12n}akを求めよ．
\mon[(2)]Σ_{k=1}^{12n}{ak}2を求めよ．
\mon[\tocni]a,b,cは異なる3つの正の整数とする．次のデータは2つの科目XとYの試験を受けた10人の得点をまとめたものである．
\beg・・・