「整数」について

　私立 上智大学 2014年 第3問

4個の数字1,2,3,4を使ってできる4ケタの整数をxとする．ただし，同じ数字をくり返し使ってよい．整数xの千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれa,b,c,dとする．
(1)整数xは全部で[ヌ]個できる．
(2)a=dとなるxは全部で[ネ]個できる．
(3)a,b,c,dのうち，3個以上が同じ数字となるxは全部で[ノ]個できる．
(4)a+b+c+dが12以上となるxは全部で[ハ]個できる．
(5)3の倍数となるxは全部で[ヒ]個できる．また，4・・・

　私立 立教大学 2014年 第1問

次の空欄[ア]～[コ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1){1.6}n＞10000を満たす最小の整数nの値は[ア]である．ただし，log_{10}2=0.3010とする．
(2)関数f(x)が等式∫axf(t)dt=x2-6x-2a+16を満たすとき，定数aの値は[イ]である．
(3)4つのさいころを同時に投げたとき，すべてのさいころの目の数が異なる確率は[ウ]である．
(4){(√3)}x=243×3^{-2x}を満たすとき，xの値は[エ]である．
(5)2つの直線・・・

　私立 立教大学 2014年 第2問

100以上200以下のすべての整数を全体集合Uとし，そのうち3の倍数の集合をA，5の倍数の集合をBとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)集合Aの要素の個数を求めよ．
(2)集合Aのすべての要素の和を求めよ．
(3)集合A∩Bの要素の個数を求めよ．
(4)集合A∩\overline{B}のすべての要素の和を求めよ．
(5)集合\overline{A∪B}のすべての要素の和を求めよ．

　私立 立教大学 2014年 第1問

次の空欄[ア]～[コ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)1でない実数aに対し，f(x)=x3+ax2+x+1，g(x)=x3+x2+x+aとする．方程式f(x)=0とg(x)=0がただ1つの共通解をもつならば，a=[ア]であり，f(x)=0のすべての解は[イ]である．
(2)x＞0のとき，f(x)=e^{-√3x}sinxの最大値は[ウ]であり，最小値は[エ]である．
(3)z=1/2+\frac{√3}{2}iとするとき，z^{2014}=[オ]+[カ]iである．ただし，・・・

　私立 立教大学 2014年 第1問

次の空欄[ア]，[イ]に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄[ウ]～[サ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)実数a,bについて，命題「ab=0ならばb=0である」の逆は[ア]であり，裏は[イ]である．
(2)x=\frac{√5-1}{√5+1}のとき，x2+\frac{1}{x2}=[ウ]，x4+\frac{1}{x4}=[エ]と，いずれも整数で表せる．
(3)すべての実数xについて2次不等式x2-2(k+1)x+2k2＞0・・・

　公立 大阪府立大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)次の文章の[]に適する答えを記入せよ．
次のように1から5までの数字が書かれたカードを用意する．
\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}\fbox{4}\fbox{5}
それに次のように4の数字が書かれたカードを1枚加える．
\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}\fbox{4}\fbox{5}\fbox{4}
この6枚のカードを1列に並べて6桁の整数をつくる．このとき，つくられる相異なる整数の・・・

　公立 九州歯科大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)3-√5+\frac{m}{3-√5}=nをみたす整数mとnの値を求めよ．
(2)F(x)=Σ_{k=1}^{12}{log(e^{2k}x2+e^{-2k})-log(e^{-2k}x2+e^{2k})}とおくとき，α=\lim_{x→∞}F(x)とβ=\lim_{x→0}F(x)の値を求めよ．ただし，eは自然対数の底である．
(3)2つの関数f(x)とg(x)がf(0)=-6，g(0)=2，g(x)＞0，g´(x)=f´(x)+4x+3，f´(x)=\frac{f(x)g・・・

　公立 九州歯科大学 2014年 第3問

さいころを2回続けて投げる．出た目の数の積をAとし，B=√Aとおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Aが奇数となる確率pとBが整数となる確率qを求めよ．
(2)f(x)=√2sin(x+π/4)+(√3-1)cosxとおくとき，f(x)=Csinx+Dcosxとなる定数CとDを求めよ．また，0≦x≦π/2におけるf(x)の最大値Mと最小値mの値を求めよ．
(3)g(x)=√2sin(x+\frac{5π}{4}\ri・・・

　公立 和歌山県立医科大学 2014年 第2問

実数xに対して，x以下で最大の整数をxの整数部分といい，[x]で表す．自然数nに対して，数列{an}をan=[nπ]と定め，また数列{bn}を，b1=b2=b3=0，n≧4のときは
ak＜n≦a_{k+1}　となる　n　に対して，　bn=k
と定める．ただし，πは円周率を表す．
(1)b4,b5,b7,b_{10}を求めよ．
(2)自然数p,qに対して，ap＜qならばpπ＜qであることを示せ．
(3)数列{bn}の一般項をnの式で表せ．このとき，必要なら上記の整数部分・・・

　公立 公立はこだて未来大学 2014年 第6問

行列A=(\begin{array}{cc}
3&2\
-2&-1
\end{array})，E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})について，以下の問いに答えよ．ただし，nを正の整数，A1=Aとする．
(1)等式A(A-E)=A-Eが成り立つことを示せ．
(2)A^{n+1}-Anを求めよ．
(3)Anを求めよ．