「整数」について

　私立 成城大学 2013年 第1問

座標平面において，x座標，y座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．いま，4つの格子点O(0,0)，A(a,b)，B(a,b+4)，C(0,b+4)を考える．ただし，aとbは互いに素な自然数とする．
(1)線分OA上には，点O，A以外の格子点は存在しないことを示せ．
(2)四角形OABCの4辺上に格子点はいくつあるか．
(3)四角形OABCの内部（辺，頂点は含まない）に格子点はいくつあるか．

　私立 東京女子大学 2013年 第2問

座標平面においてy=3/4x，0≦x≦100で定まる線分をLとする．
(1)L上の点でx座標，y座標がともに整数であるものは何個あるか．
(2)整数a,bを用いてa-1≦x≦a，b-1≦y≦bで表される正方形のうち，Lと共有点を持つものは何個あるか．

　私立 東京女子大学 2013年 第7問

座標平面において点An(1,1/n)，B(1-1/n,0)およびO(0,0)を頂点とする三角形OAnBnの外接円の半径をRnとおく．ただしnは2以上の整数とする．
(1)Rnをnの式で表せ
(2)\lim_{n→∞}Rnを求めよ．

　私立 津田塾大学 2013年 第1問

次の問に答えよ．
(1)実数xが4x+4^{-x}=7をみたすとき，8x+8^{-x}の値を求めよ．
(2)整数xの1桁目を四捨五入した値を\langlex\rangleと表す．例えば，\langle4\rangle=0，\langle5\rangle=10，\langle11\rangle=10である．サイコロを2回投げたとき，1回目に出る目の数をx，2回目に出る目の数をyとする．\langlex+y\rangle=\langlex\rangle+\langley\rangleとなる確率を求めよ．

　私立 早稲田大学 2013年 第1問

次の問に答えよ．
(1)2つのサイコロを同時にふるとき，出た目の和がnである確率をPnとする．自然数n(2≦n≦12)に対して
Pn=\frac{[ア]-|n-[イ|]}{[ウ]}
である．
(2)整数p,qに対して，多項式
f(x)=2x4+(p+2q)x3+(pq+4)x2+(2p+2)x+p
を考える．f(0)，f(1)，f(2)がすべて素数のとき，p=[エ]，q=[オ]である．

　私立 早稲田大学 2013年 第3問

次の条件を満たしている正の整数a,b，正の奇数cの組(a,b,c)を考える．
2a=(4b-c)(b+c)
次の設問に答えよ．
(1)b=13のとき，a,cの値を求めよ．
(2)a≦2013である組(a,b,c)の個数を求めよ．

　私立 早稲田大学 2013年 第2問

複素数z=1+2√6iと自然数n=1,2,3,・・・について，複素数znを実数an,bnを用いて
zn=an+bni
と表す．次の問に答えよ．
(1){an}2+{bn}2=5^{2n}(n=1,2,3,・・・)であることを示せ．
(2)すべてのnについてa_{n+2}=pa_{n+1}+qanが成り立つ定数p,qを求めよ．
(3)どんなnについてもanは5の整数倍でないことを示せ．
(4)zn(n=1,2,3,・・・)は実数でないことを示せ．

　私立 立教大学 2013年 第2問

弓道部のA君が矢を射るとき，矢が的に命中する確率をa(0＜a＜1)とする．nを自然数とし，mを0≦m≦nを満たす整数とする．A君が矢をn回射るとき，ちょうどm回命中する確率をp(m,n)とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)p(1,3)をaの式で表せ．
(2)p(7,9)をaの式で表せ．
(3)ある自然数x,y(x≦y)についてp(x-1,y)=p(x,y)であるとき，aの値をx,yの式で表せ．

　公立 県立広島大学 2013年 第1問

実数aに対してn≦a＜n+1を満たす整数nを記号[a]で表す．次の問いに答えよ．
(1)[-3.1]を求めよ．
(2)[\sqrt{800}]=10xとなるxを求めよ．
(3)[19x-1]=10xとなるxを求めよ．
(4)[x2+6x-4]=10xとなるすべてのxを求めよ．

　公立 首都大学東京 2013年 第2問

xy平面で，x座標とy座標がともに整数である点を格子点という．点Pを次のルールで格子点上を移動させる．
\begin{itemize}
さいころをふって出た目が1または2のとき，x軸の正の方向に1だけ移動させる．
さいころをふって出た目が3または4のとき，y軸の正の方向に1だけ移動させる．
さいころをふって出た目が5または6のとき，動かさない．
\end{itemize}
以下の問いに答えなさい．ただし，答えのみでなく理由も述べなさい．
(1)点Pの最初の座標を(0,0)と・・・