「整数」について

　私立 立教大学 2011年 第1問

次の空欄ア～スに当てはまる数を記入せよ．
(1)点P(1,2)と点Q(0,-1)を通り，点Qでの接線の傾きが2である円の方程式は(x-[ア])2+(y-[イ])2=[ウ]である．
(2)ベクトルa=(-2,2,1)，ベクトルb=(-5,4,3)のとき，ベクトルaと2ベクトルa-ベクトルbのなす角度は[エ]である．
(3)sinx+√3cosx-2=0(0＜x＜π)を解くと，x=[オ]である．
(4)数列1/1,1/2,2/2,\frac{1}{・・・

　私立 学習院大学 2011年 第2問

nを自然数とする．
(1)等式
Σ_{k=0}n(-1)k\comb{n}{k}=0
を示せ．
(2)kが0≦k≦nを満たす整数のとき，等式
(n+1)\comb{n}{k}=(k+1)\comb{n+1}{k+1}
が成り立つことを示せ．
(3)等式
Σ_{k=0}n\frac{(-1)k}{k+1}\comb{n}{k}=\frac{1}{n+1}
を示せ．

　私立 関西大学 2011年 第1問

関数f(x)=log3(x+1)+log9(3-x)を考える．次の[]をうめよ．
(1)f(x)の定義域は[①]である．また，整式g(x)=[②]に対し，f(x)=log9g(x)となる．
(2)整数nに対しf(n)の値も整数とする．このとき，n=[③]であり，f(n)の値は[④]となる．xを整数と限らなければ，f(x)=[④]となるのは，ほかにx=[⑤]のときがある．

　私立 関西大学 2011年 第1問

次の[]をうめよ．
(1)π/12=π/3-π/4より，
cosπ/12=\frac{\sqrt{[①]}+\sqrt{[②]}}{4}
である．ただし，[①]と[②]は整数であり，[①]＜[②]とする．
(2)0＜θ＜πかつ
cosθ=\frac{\sqrt{[①]}-\sqrt{[②]}}{4}
であるとき，θ=[③]である．
(3)適当な整数a,bに対し，\d・・・

　私立 北海道文教大学 2011年 第1問

次の問いに答えなさい．
(1)1以上200以下の自然数の中で，2または5で割り切れる数はいくつありますか．その個数を求めなさい．
(2)次の式を因数分解しなさい．
3(2x-3)2-4(2x+1)+12
(3)次の不等式を解きなさい．
|x-2|＞3x
(4)x=\frac{1}{√7-√3},y=\frac{1}{√7+√3}のとき，次の式の値を求めなさい．

(i)x2-y2
(ii)x3+y3
(5)7個の整数1,2,3,4,・・・

　私立 北海道医療大学 2011年 第2問

以下の問に答えよ．
(1)次の値を求めよ．
\begin{array}{lllll}
①log236-log29&&②log3\sqrt{729}&&③43×(23)^{-2}\
④\sqrt[3]{3}\div√9×\sqrt[4]{27}&&⑤sin225°&&⑥tan210°\phantom{\frac{[]}{1}}
\end{array}
(2)正の整数の集合A,Bがある．ここでA={2n\;|\;10≦2n≦200,n　は正の整数　}，B={m2\;|\;10≦m2≦200,・・・

　私立 北海道医療大学 2011年 第3問

二項定理と二項係数を用いて，以下の問に答えよ．ただし，mとnは正の整数である．
(1){(x+1)}mの展開式におけるxrの係数を求めよ．ただし，rは整数で，0≦r≦mとする．
(2){(x2+1)}nの展開式におけるx^{2s}の係数を求めよ．ただし，sは整数で，0≦s≦nとする．
(3)mを2より大きな正の整数，nを正の整数とするとき，{(x+1)}m{(x2+1)}nの展開式におけるx3の係数をmとnを用いて表せ．
(4)mを2より大きな正の整数，nを正の整数とするとき，{(x+1)}・・・

　私立 北海道科学大学 2011年 第6問

1と2の数字だけを使って6桁の整数をつくると，[]通りの整数ができる．そのうち，121212よりも小さい整数は[]通りある．

　私立 京都女子大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)17028の正の約数は何個あるか．また，17028を2つの3桁の整数の積として表せ．
(2)放物線y=2x2+(k-2)x+2k+1と直線y=(1-k)x+k+3がただ1つの共有点を持つようにkの値を定めよ．
(3)実数x,yがx-y=x3-y3=√3およびx+y≧0を満たすとき，x+yとx3+y3の値を求めよ．

　私立 中央大学 2011年 第1問

正の整数m,nが次の2つの条件を満たしている．
(*){\begin{array}{l}
n　は　m　の倍数　\
　等式　2n/3=n/m+1　が成り立つ　\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.
このとき，以下の設問に答えよ．
(1)nを3で割ったときの余りを求めよ．
(2)(*)を満たす組(m,n)をすべて求めよ．