タグ「最大公約数」の検索結果

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    一橋大学 国立 一橋大学 2015年 第1問
    nを2以上の整数とする.n以下の正の整数のうち,nとの最大公約数が1となるものの個数をE(n)で表す.たとえば
    E(2)=1,E(3)=2,E(4)=2,・・・,E(10)=4,・・・
    である.
    (1)E(1024)を求めよ.
    (2)E(2015)を求めよ.
    (3)mを正の整数とし,pとqを異なる素数とする.n=pmqmのとき\frac{E(n)}{n}≧1/3が成り立つことを示せ.
    東京工業大学 国立 東京工業大学 2015年 第5問
    nを相異なる素数p1,p2,・・・,pk(k≧1)の積とする.a,bをnの約数とするとき,a,bの最大公約数をG,最小公倍数をLとし,
    f(a,b)=L/G
    とする.
    (1)f(a,b)がnの約数であることを示せ.
    (2)f(a,b)=bならば,a=1であることを示せ.
    (3)mを自然数とするとき,mの約数であるような素数の個数をS(m)とする.S(f(a,b))+S(a)+S(b)が偶数であることを示せ.
    埼玉大学 国立 埼玉大学 2015年 第1問
    cは正の整数とする.数列a1,a2,a3,・・・はa1=1,a2=cであり,さらに漸化式
    a_{n+2}=a_{n+1}+an(n=1,2,3,・・・)
    を満たすとする.次の問いに答えよ.
    (1)n=1,2,3,・・・に対して,anは正の整数であり,かつ,anとa_{n+1}の最大公約数は1であることを示せ.
    (2){(-1)}n(a_{n+1}2-a_{n+2}an)はnによらず一定の値であることを示せ.
    (3)c≧2とし,bn=\frac{a_{n+1}}{an}とおくと
    {\begin{array}{ll}
    b_{n+1}>bn&・・・
    佐賀大学 国立 佐賀大学 2015年 第4問
    pを素数とするとき,次の問に答えよ.
    (1)2つの自然数m,nの最大公約数は1であるとし,x=n/mとおく.pxが有理数であるならば,m=1であることを示せ.
    (2)方程式
    px=-x2+9x-5
    が有理数の解xをもつような組(p,x)をすべて求めよ.
    信州大学 国立 信州大学 2015年 第2問
    次の3つの条件を満たす自然数の組(x,y,z)を考える.
    (i)xは奇数である.
    (ii)x2+y2=z2
    (iii)x,y,zの最大公約数は1である.
    例えば(x,y,z)=(3,4,5),(5,12,13)などがその例である.
    (1)yは偶数であることを示せ.
    (2)x=a2-b2,y=2abとなる自然数a,bが存在することを示せ.
    (3)条件を満たす(x,y,z)で,(3,4,5)と(5,12,13)以外のものを2組求めよ.
    \end{enu・・・
    信州大学 国立 信州大学 2015年 第1問
    次の3つの条件を満たす自然数の組(x,y,z)を考える.
    (i)xは奇数である.
    (ii)x2+y2=z2
    (iii)x,y,zの最大公約数は1である.
    例えば(x,y,z)=(3,4,5),(5,12,13)などがその例である.
    (1)yは偶数であることを示せ.
    (2)x=a2-b2,y=2abとなる自然数a,bが存在することを示せ.
    (3)条件を満たす(x,y,z)で,(3,4,5)と(5,12,13)以外のものを2組求めよ.
    \end{enu・・・
    玉川大学 私立 玉川大学 2014年 第2問
    [ア]~[タ]を埋めよ.
    (1)sinx=\frac{√5-1}{2}のときsin5x+sin3xの値は
    sin5x+sin3x=[ア]sin[イ]xcosx
    を用いれば
    [ウエ]\sqrt{[オ]}-[カキ]
    である.
    (2)三角形ABCにおいて,辺ABをm:nに内分する点をP,辺ACをn:mに内分する点をQとする.ただし,m≠nかつmとnの最大公約数は1である.このときt=\frac{m}{m+n}とおくと
    ベクトルPQ=-t\・・・
    中京大学 私立 中京大学 2013年 第3問
    次の各問に答えよ.
    (1)504の正の約数はいくつあるか求めよ.1と504自身も正の約数であることに注意せよ.
    (2)504と自然数xとの最大公約数をg,最小公倍数をlとする.504の正の約数の個数をnとしたとき,gの正の約数の個数はn/3,lの正の約数の個数は9/2nであった.xの素因数が2,3,5,7であるとき,g,l,xの値を求めよ.
    倉敷芸術科学大学 私立 倉敷芸術科学大学 2012年 第2問
    3けたの自然数2つの和が756,最大公約数が84である.このような自然数の組を求めよ.
    倉敷芸術科学大学 私立 倉敷芸術科学大学 2012年 第2問
    3けたの自然数2つの和が756,最大公約数が84である.このような自然数の組を求めよ.
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「最大公約数」とは・・・

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