「最小値」について

　私立 立教大学 2014年 第1問

次の空欄[ア]～[サ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)(log3x)(log39x)-6log9x-6=0を満たすxの値をすべて求めると，[ア]である．
(2)座標平面上に点A(1,1)，B(3,7)，C(-1,5)がある．このとき，点Cを通り直線ABと直交する直線の方程式はy=[イ]である．
(3)実数xが方程式(1+i)x2-(5+i)x+6-2i=0を満たすとき，x=[ウ]である．ただし，iは虚数単位とする．
(4)0＜θ＜π/2・・・

　私立 立教大学 2014年 第1問

次の空欄[ア]，[イ]に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄[ウ]～[サ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)実数a,bについて，命題「ab=0ならばb=0である」の逆は[ア]であり，裏は[イ]である．
(2)x=\frac{√5-1}{√5+1}のとき，x2+\frac{1}{x2}=[ウ]，x4+\frac{1}{x4}=[エ]と，いずれも整数で表せる．
(3)すべての実数xについて2次不等式x2-2(k+1)x+2k2＞0・・・

　私立 南山大学 2014年 第2問

a＞0とし，関数f(x)=x3-3ax2+2a3+2a+1を考える．
(1)方程式f´(x)=0の解を求めよ．
(2)f(x)の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)x≧-1におけるf(x)の最小値mを求めよ．
(4)aがa＞0の範囲を動くとき，(3)のmの最大値を求めよ．

　公立 大阪市立大学 2014年 第1問

a,bを実数とし，定積分∫0^π(x-a-bcosx)2dxの値をI(a,b)とおく．次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫cos2xdxを求めよ．
(2)不定積分∫xcosxdxを求めよ．
(3)I(a,b)をa,bを用いて表せ．
(4)a,bが実数全体を動くときのI(a,b)の最小値，および，I(a,b)が最小値をとるときのa,bの値を求めよ．

　公立 首都大学東京 2014年 第3問

f(x)=xe^{-x}，t＞1とするとき，以下の問いに答えなさい．
(1)曲線y=f(x)と直線y=x/tのすべての交点の座標を求めなさい．
(2)(1)のようなy=f(x)とy=x/tで囲まれる部分の面積S(t)を求めなさい．
(3)tが1より大きい実数全体を動くとき，関数g(t)=\frac{t}{logt}(1-S(t))の最小値を求めなさい．

　公立 首都大学東京 2014年 第3問

f(x)=x(x-2)-6|x|とするとき，以下の問いに答えなさい．
(1)f(x)の最小値を求めなさい．
(2)曲線y=f(x)上の点A(t,f(t))(t＞0)を通る接線が曲線y=f(x)のx＜0の部分と点Bで接しているとき，点A，Bの座標と接線の方程式を求めなさい．
(3)(2)において曲線y=f(x)と線分ABで囲まれる部分の面積を求めなさい．

　公立 岡山県立大学 2014年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)体積がV，表面積がS，底面の半径がrの円柱を考える．
(i)SをVとrで表せ．
(ii)Vの値を一定にするとき，Sの最小値とそれを与えるrの値を求めよ．
(2)x＞0のときlog(1+x)＞x-\frac{x2}{2}であることを示せ．

　公立 大阪府立大学 2014年 第5問

定数cは1＜c＜√2をみたすとし，0≦x＜1で定義された2つの関数
f(x)=x+\sqrt{1-x2},g(x)=cf(x)-x\sqrt{1-x2}
を考える．g(x)の導関数をg´(x)と表す．
(1)f(x)の最大値と最小値を求めよ．また，それらを与えるxの値も求めよ．
(2)g´(x)=h(x)(c-f(x))をみたす関数h(x)を求めよ．
(3)g(x)の最大値を求めよ．ただし，最大値を与えるxの値を求める必要はない．

　公立 大阪府立大学 2014年 第5問

0＜x≦2πにおいて定義された関数h(x)=\frac{sinx}{x}について，以下の問いに答えよ．
(1)h(x)の最小値を与えるxがただ一つ存在することを示せ．
(2)h(x)の最小値を与えるxの値をbとおく．次の定積分を求めよ．
∫_πbx2h(x)dx
(3)bは17/12π＜b＜3/2πをみたすことを示せ．

　公立 九州歯科大学 2014年 第3問

さいころを2回続けて投げる．出た目の数の積をAとし，B=√Aとおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Aが奇数となる確率pとBが整数となる確率qを求めよ．
(2)f(x)=√2sin(x+π/4)+(√3-1)cosxとおくとき，f(x)=Csinx+Dcosxとなる定数CとDを求めよ．また，0≦x≦π/2におけるf(x)の最大値Mと最小値mの値を求めよ．
(3)g(x)=√2sin(x+\frac{5π}{4}\ri・・・