「最小値」について

　国立 琉球大学 2011年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)定積分∫_{-π}^πxsin2xdxを求めよ．
(2)m,nが自然数のとき，定積分∫_{-π}^πsinmxsinnxdxを求めよ．
(3)a,bを実数とする．a,bの値を変化させたときの定積分I=∫_{-π}^π(x-asinx-bsin2x)2dxの最小値，およびそのときのa,bの値を求めよ．

　国立 福岡教育大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)Nは自然数でN^{10}が16桁であるとする．このとき，N8は何桁になるか求めよ．
(2)αが無理数であり，a,bが有理数であるとき，
a+bα=0　ならば　a=b=0
であることを証明せよ．
(3)a,b,c,x,y,zを実数とする．
(i)(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≧(ax+by+cz)2が成り立つことを示せ．
(ii)x+y+z=1のとき，x2+y2+z2の最小値を求めよ．

　国立 岐阜大学 2011年 第2問

連立不等式y≧|3x-2|,x-4y+8≧0の表す領域をDとする．以下の問に答えよ．
(1)領域Dを図示せよ．
(2)点(x,y)が領域Dを動くとき，x2+2x+y2の最小値と，それを与える点(x,y)を求めよ．

　国立 岐阜大学 2011年 第2問

連立不等式y≧|3x-2|,x-4y+8≧0の表す領域をDとする．以下の問に答えよ．
(1)領域Dを図示せよ．
(2)点(x,y)が領域Dを動くとき，x2+2x+y2の最小値と，それを与える点(x,y)を求めよ．

　国立 電気通信大学 2011年 第1問

xy平面上の曲線C:y=logxに対して，以下の問いに答えよ．ただし，logxはeを底とする自然対数とする．
(1)曲線C上の点P(t,logt)におけるCの接線ℓの方程式を求めよ．
(2)接線ℓとx軸の交点Qのx座標をx0とする．x0をtを用いて表せ．
(3)t＞1のとき，曲線Cとx軸および直線x=tとで囲まれる部分の面積をS(t)とする．S(t)をtを用いて表せ．
(4)t＞1のとき，曲線Cとx軸および接線ℓとで囲まれる部分の面積をT(t)とする．T(t)をtを用い・・・

　国立 帯広畜産大学 2011年 第1問

自然数nについて，{an}は初項a，公差dの等差数列であり，{bn}は初項b，公比rの等比数列である．数列{an}の一般項をanで表し，その初項から第n項までの和をSaとする．また，数列{bn}の一般項をbnで表し，その初項から第n項までの和をSbとする．次の各問に解答しなさい．
(1)d=2a,a≠0とする．
(i)dとnを用いてanを表しなさい．また，aとnを用いてSaを表しなさい．
(ii)不等式6an＜a_{n+1}+27dおよび・・・

　国立 群馬大学 2011年 第2問

平面上で原点Oを通りx軸の正の向きとθの角をなす直線をℓとする．θを0≦θ≦π/2の範囲で動かすとき，点A(2,0)からℓへ下ろした垂線をAG，点B(0,1)からℓへ下ろした垂線をBHとし，折れ線の長さ　AG　+　GH　+　HB　をLとする．ただし，θ=0のときはGはAに等しく，θ=π/2のときはHはBに等しいものとする．直線ℓの傾きは0以上とする．
(1)　GH　=0となるときのθの値を\・・・

　国立 群馬大学 2011年 第2問

平面上で原点Oを通りx軸の正の向きとθの角をなす直線をℓとする．θを0≦θ≦π/2の範囲で動かすとき，点A(2,0)からℓへ下ろした垂線をAG，点B(0,1)からℓへ下ろした垂線をBHとし，折れ線の長さ　AG　+　GH　+　HB　をLとする．ただし，θ=0のときはGはAに等しく，θ=π/2のときはHはBに等しいものとする．直線ℓの傾きは0以上とする．
(1)　GH　=0となるときのθの値を\・・・

　国立 新潟大学 2011年 第4問

関数
f(t)={
\begin{array}{l}
t\qquad\qquad(0≦t≦π)\\
2π-t(π＜t≦2π)
\end{array}
.
に対して，次のように2つの関数g(x),h(x)を0≦x≦2πで定義する．
g(x)=∫0^{2π}f(t)cos(t+x)dt,h(x)=∫0^{2π}f(t)sin(t+x)dt
このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数g(x),h(x)を求めよ．
(2)xが0≦x≦2πの範囲を動くとき，関数y=g(x)+h(x)の最大値と最小値を求めよ．

　国立 山形大学 2011年 第2問

平面上の曲線Cは媒介変数tを用いて，
x=cost,y=asint+bcost(0≦t≦2π)
と表される．a,bは定数であり，a＞0を満たす．以下の問に答えよ．
(1)曲線Cの方程式をx,y,a,bを用いて表し，yについて解け．
(2)曲線Cがx軸，y軸と交わる点の座標を求めよ．
定数a,bがそれぞれa=\frac{1}{√2},b=\frac{1}{√2}のとき，以下の問に答えよ．
(3)x,yのそれぞれの最大値，最小値を求めよ．
・・・